429 2

429

10.5. Nieliniowe zadania optymalizacji

pominęliśmy wskaźnik v. Zgrabniej — i ogólniej — napiszemy, że _(l05.l6)    <^=[/'(*r)!l^r/(**>»    **-!»

_is ¹ oznacza pseudoodwrotność macierzy Jacobiego; zob. wzory (5.2.2) i (5,2.4). p. -netodę nazywa się metodą Gaussa-Newtona.

Spowolnioną metodę Gaussa-Newtona otrzymuje się. przyjmując w (10.5.9), że

9 (x) =f(xj^Tm, Glx) =f(x)^rf(x).

W ty ni przypadku jednak macierz G(x) jest dodatnio określona lub pólokrcślona tak, że % kierunku gradientu korzysta się rzadko; mimo wszystko sterowanie wartościami X opisane dla spowolnionej metody Newtona może być użyteczne.

Jeśli nie znamy wyrażenia analitycznego dla /'(*), to możemy korzystać z przybliżeń różnicowych; zob. § 6.9. Dla dużych n rozwiązywanie układu liniowego w każdej iteracji jest uciążliwe; Dixon [139], str. 44 i nast., opisuje wersje wykorzystujące aktualizację macierzy.

Metoda Gaussa-Newtona nie jest identyczna z metodą Newtona zastosowaną do równania (10.5.13). Ta ostatnia dałaby kierunek poszukiwania

(10.5.17)    rf=[/"(,)Y(x)+/'(*)^T/'(,)]- '/-(x)^T/(l).

g<lz:c f"(x)^r f(x) oznacza macierz, o elementach

m

£

dx_tGXj

k

Ze względu na drugie pochodne obliczenia byłyby tu znacznie dłuższe niż dla kierunku Gaussa-Newtona.

Ta różnica może mieć znaczenie dla ostatecznej zbieżności, gdy norma ||/"(*)^T/(■*)! | ^n,c jest mała, co z grubsza oznacza, że mamy model wyraźnie nieliniowy, którego nie można dobrze dopasować do rozważanych danych.

10.5.5. Optymalizacja warunkowa

fjjiffl Wielu zastosowaniach wektor x spełnia pewne warunki — równania lub nierówności. ^Wa przypadki szczególne zbadano wcześniej:

Warunki

Funkcja minimalizowana

§ 10.1

§ 5.7.4

liniowa

kwadratowa

nierówności liniowe równania liniowe

fe^letodę sympleks z programowania liniowego rozszerzono na programowanie kwadra-Dixoo [139], str. 110). gdzie funkcja minimalizowana jest kwadratowa, a wa-*WUC3 są nierównościami liniowymi.