431 2

431

10.5. Nieliniowe zadania optymalizacji

(getodS Newtona i wzór (6.9.11) dla funkcji kary

7p{x)=x\ + x\+k~\x\+2x_lx₂+'bx\— l)²

^yjnano następujące wyniki:

f--	Bez ekstrapolacji			Po ekstrapolacji liniowej do granicy* k-0
	*i		u(x)	xL	■X2	u(.x)
— l	0.191342	0.461940	-I.S-10"^1	-	-	-
i	0.199917	0.482642	-6.8-10"*	0.208492	0.503344	1.3-10"*
1	0.203367	0.490971	-3.6*10”*	0.206817	0.499301	— 2.8-10"*
A	0.205228	0.495463	—1.8-10“*	0.207088	0.499955	-1.8-10"^4
i	0.206163	0.497722	-9.1-10"*	0.207098	0.4999B1	-7.8-10"*
	0.206634	0.498858	—4.6-10"*	0.207105	0.499995	-2.0-10"^3
Ł	0.206870	0.499429	-2.3-10"*	0.207106	0.499999	-4.8-10"^6
Dla każdego k iteracje kończono, gdy było już ||x,+ 1—x,||al					h' 1 O <Ń V	Dla k> 1 była

potrzebna tylko jedna iteracja. Obliczenia kontynuowano aż do sygnału (otrzymanego dla k—2^-17), że macierz jest niemal osobliwa. Dla k<2“¹⁵ błędy wartości nieekstrapolo-wanych wynosiły około I0~⁶.

Funkcji kary można też używać dla warunków typu nierówności: h_j (jc)<0 (/*»!, 2,... Box (zob. [139], str. 100) zaproponował funkcję

q>(x)=ę{x)+k ¹ £ Ay#(#/*))• l=i

fy(*) jest tu funkcją schodkową Heaviside’a:

®^W*il (hj>0).

Zadania

^l* (^a) Wykazać, że ogólną postacią funkcji kwadratowej jest 9 (*)=i*^TGx - b^Jx+c,

?*^Z:c‘ ^ jest macierzą symetryczną, a b jest wektorem kolumnowym. Określić gradient ¹ tesjan. Wykazać też, że

ę,(x)=₉{x)+Hx-x)^rG(x-x),

K(*)*0. Czy x zawsze istnieje?

Ułóżmy, że macierz G jest symetryczna i nieosobtiwa. Wykazać, że dla każdego ® -^toda Newtona znajduje punkt stacjonarny funkcji ę w jednym kroku. Przy jakich ■Butlach jest to punkt minimum?