479 2

479

Rozdział 5

3, (a) Jeśli macierz U- jest unitarna, to HltyUa^lHla. gdy* \\Vy\\\-)?V*L'y=y"y-M\.

podobnie. ||Kx||₂ = ||xf|_a.

■['    |    ||6’^ K||_a=sQp||^Fx||₂/||x||₂==supi|^Fx||₂/||Kr||₂:

= sup\\Ay\\₂l\\y\\₂ = \\A\\₂.

(b) Wobec (S.2.1) istnieją macierze unitarne U, V takie, że U A V-D_t gdzie Z> jest macierzą przekątniową o elementach nieujemnych.

||0x||? = E d?xf<(n«wrfj) E x?-(maxd})||*|||,

i=i    J    1=1    i

przy czym równość zachodzi, jeśli *< = 0, gdy df<mxxdj. Stąd ||D||₂ = max*y_j| i (b) wy-

Ipla z (a).    ¹

4. (a) x£Oo Txź ć?=>N(x) = |j 7x|j>0,    x=0=> (x)=0.

N («H i T(ax)\ | - |a{• 11 Tx\\ = |a| N(r), Ar(*+yH|rx+rjF||<||r*||+||i>||-jir(*)+N(p).

^    /V(^jr)    ||r*r||    ||T^r~ V||

^(b)    f/w"^s“^p iM“T“nwr ^Hl "•

(c)    Niech będzie r=diag(/rj). Z (b) wynika, że sup N (Ax)}N(*) « 11 TA T~¹1|_x = max £ \a_tjk_tfkj\.

(d)    Możliwy jest rozkład G=T^UT, tj. rozkład Choleskiego. Stąd (i^HCx)^,'² = ||7x||₂ ^ i (d) wynika z (a).

(e)    Ponieważ x^rGy jest liczbą rzeczywistą, więc

x^rGy=(x^TG_y)^T=j»^t(7^tx=y^rGx (przem i enność ).

, Liniowość jest oczywista, a nieujemność wynika z dodatniej określoności G.

(i) Niech X będzie wartością własną. |2|=p(A), a c niech będzie odpowiednim wektorem ; własnym.

Ac = /.• =*■ | |,4c||;| >I! = |X\ = p (A) => |\A j|> p{A).

Wypuśćmy, że macierz Z>— TAT~^l jest przekątniowa. Stąd (porównaj zadanie 3(b)) \V*\\t~p(I>)=p{A). W istocie dla dowolnego p (Kp<oo) jest \\D\\_p=p(D) = p(A). (0 wynika więc stąd, że wobec (b) ||J?|> jest równe normie macierzy A indukowanej _; pfzez normę wektora.

25	-41	10	-6“		' l
-41	68	-17	10		-1
10	-17	5	-3	, x=	I
-6	10	-3	2		-1

5.    (a)