56 (306)

?20.

a)    prostej przechodzącej przez punkty z\ = 2i, zi = 1 — t;

b)    odcinka łączącego punkty z\ = 0, zi — —2i;

c)    odcinka łączącego punkty Z\ — 2 + », zi — — 1;

d)    okręgu o środku zo = 2 — i i promieniu r = 3;

e)    elipsy o środku zo = 0 i półosiach a, b;

f)    hiperboli y = —;

X

g)    części paraboli y — x² zawartej między punktami z\ = 1 + », zi = \/3 + 3ś. Zadanie* 5.2

Napisać równanie stycznej do krzywej z(t) = t² -f isint, gdzie t £ R, w punkcie zo od|>owiadającym wartości parametru <o =    •

Zadanie* 5.3

Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej z{t) — i¹ + it, gdzie t £ R,

. .    3    ,\/3

w punkcie zo = - + t-jj-.

Zadanie* 5.4

W jakim punkcie i pod jakim kątem przecinają się krzywe z(<) = *+if», w(t) = i¹ + y»?

Zadanie 5.5

Obliczyć podane całki:

(cost + 2<i) dt\

[l + (1 + »)i²] dt\

(cos 21 + i sin 2ł) dt\

i

d)/(l-e'ł) dt. -i

Odpowiedzi i wskazówki

5.1 a) z(t) = 2i + (1 — 3i)t, gdzie t £ R\ b) z(t) = —2:t, gdzie ł £ [0,1]; c) z(t) = 2 +1-f (—3 — i)t, gdzie t £ [0,1]; d) z(t) = 2 —i + 3e“, gdzie t £ [0,2ir]; e) z(t) = acost + tfcsin t,

gdzie t £ [0,2x]; f) z(t) = t + |i, gdzie t £ R \ {0}; g) z(t) = t + t³i, gdzie t € [l,    .

5.2* A(<) = x^J/4 + i + xt, gdzie t £ R.

5.3* a = £.

6

5.4* zo = i + ^X-i, ar = arctg i + arctg ^ = arctg

5.5 a) 1 + ^b) y + c) »; d) 2 + i ^-e + i) = 2 - 2is!i 1.

Szósty tydzień - przykłady

Szósty tydzień

Przykłady

• Przykład 6.1

Obliczyć podane całki po wskazanych krzywych:

a) J e ^m Rezdz, gdzie C jest odcinkiem o początku z\ — 1 i końcu zi — 2 + t;

C

dz

z + z'

gdzie C jest leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych częścią okręgu |z| = R przebieganą od punktu Ri do punktu R;

gdzie C jest fragmentem łuku paraboli y = x² o początku l+i oraz końcu y/e + et;    / gdzie C jest łamaną o wierzchołkach kolejno w punktach

7T . / .v 7T    _

2^ł- O + Oj ^oraz 0

Rozwiązanie

W rozwiązaniach kolejnych przykładów wykorzystamy wzór

J /(z) dz = J f(z(t))z'{t)dt,

C    a

gdzie z = z(t) dla t € [cv, /?] jest parametryzacją łuku C.

a) Równanie parametryczne odcinka o początku zi = 1 i końcu zj = 2 + i ma postać

z(t) = *i + (*a — *i)< = 1 + (1 + »)*i gdzie t € [0,1]. Stąd z'(t) = 1 + i. Zatem

Re(_Z(t))z'(t)dt

j e^_ImZ Rezdz = J

1 *

= J e"'(l + 1)(1 + «) dt = (1 + «) /e-(l+0 dt

= (“i + ,) [-(2 +    = (1 + 0 (-3e"‘ + 2) .

b) Równanie parametryczne części okręgu |z| = R leżącej w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych ma postać

z(ł) = Re’¹, gdzie i G [o,    .