63 (31)

Okręt zmniejsza swoją prędkość pod wpływem przeciwdziałającej jego ruchowi siły oporu wody. Siła ta jest proporcjonalna do prędkości okrętu. Początkowa prędkość okrętu v(0)=10m/s zmalała po 5 s. Do wartości v(5)=8m/s. Po jakim czasie prędkość okrętu zmaleje do 1 m/s?

dv

Z drugiej zasady Newtona: m— = -kv i v(0) = 10.

dt

A-t

Rozwiązanie tego zagadnienia: v(t) = 10e ^m Z warunku v(5)=8 otrzymujemy: A = i|_nl.

Z równości v(t)=1 mamy: t«51.6s.

Kultura licząca 500 bakterii po trzech godzinach osiąga stan 8000 bakterii. Szybkość zmiany liczebności jest w danej chwili proporcjonalna do tej liczebności. Jaka będzie liczebność bakterii po 15 godzinach.

dN

Równanie opisujące szybkość zmiany populacji: — = kN.

Rozwiązaniem tego równania jest: N(t) = N₀e^k(t_to)

gdzie N₀ jest liczebnością populacji w pewnej chwili to.

Odp. Około 524206107.

Ciało o temperaturze 220°C umieszczono w pomieszczeniu o temperaturze 60°C. Po 10 minutach jego temperatura obniżyła się do 140°C.

Jaka będzie temperatura ciała po 20 minutach.

Jeśli T(t) oznacza temperaturę ciała a To temperaturę otoczenia,

CJ

to proces stygnięcia będzie opisany równaniem: — = -k(T - T₀)

dt

Rozwiązaniem tego równania jest: T(t)= T₀+(T(O)-T_o)e'^kt, gdzie T(0) jest temperaturą początkową ciała.

Odp. Około 100°C.

Wyznaczyć zależność między prędkością v ciała swobodnie spadającego i czasem t przyjmując, że opór powietrza jest wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości.

dv    o

Z drugiego prawa dynamiki Newtona mamy: m— = mg-kv ,    v(0) = 0.

dt

Rozwiązaniem tego zagadnienia jest: v(t) = Zauważmy, że lim

t-»CO

1-e

-2^/gk/mt

1 + e

-2Vk/mt

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki