63 (98)

9. Analiza harmoniczna 63

cos(mcot) (m jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią) i następnie całkujemy w granicach od dowolnej wartości t — t\ do wartości większej o okres T. Otrzymujemy w ten sposób równość:

9. Analiza harmoniczna 63

■0

^f(t)cos(ma)i)dt =

8

h+T

J cos(mtftf) h

fo

2

+

00

cos (nart) +ó„sin (ncot)\

n=1

dt.

(9.4)

Składniki wyrażenia podcałkowego po prawej stronie mają wartości: arii    r -

H dt = 0

	(9.4a)
dla m — n,	(9.4b)
dla m^n,	(9.4c)
dla wszystkich n.	(9.4d)

'i

U+T

| cos (mcot) — a_n cos (mcot)cos (ncot)dt =    dla m = n,

/,

U+T

ja_n cos(ma>t)cos (ncof)dt = 0 dla m^n

u

i\+T

Uwzględniwszy równania (9.4)-(9.4d), otrzymujemy równanie pozwalające wyliczyć parzyste współczynniki Fouriera:

ty+T

a_n = — (t)cos(ncot)dt

f    (9.5a)

W celu obliczenia współczynników nieparzystych wykonujemy analogiczne rozważania, zamieniając w równaniu (9.4) cos (mcot) na sin (mcot). W rezultacie otrzymujemy:

b„=— jf(t)sm(ncot)dt.    (9.5b)

ty

Jeżeli w równaniu (9.4) przyjmiemy m = 0, uprości się ono do postaci:

ty+T    ty+T

\f(t)dt=

>i    h

z której łatwo można obliczyć współczynnik a₀. Po scałkowaniu prawej strony i przekształceniu współczynnik a₀ będzie miał postać: