70 (81)

70 Stanisław Szuba

s = IR+—.    (10.2)

C

Po zróżniczkowaniu tego równania względem czasu i uwzględnieniu związku I = dq/dt otrzymamy

dl \ j    \    & dt

— + —7 = 0 lub — = ——.    (10.3)

dt RC    I RC

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, które się rozwiązuje przez niezależne całkowanie każdej strony. W wyniku takiego całkowania otrzymujemy równanie:

ln—= —— 7n RC

(10.4)

gdzie /o jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe. Ostateczną, jawnąpostać funkcji /otrzymamy po wykonaniu operacji odlogarytmowania:

i    ¹

«^c    P.,v    (10.5)

r

W początkowej chwili ładowania (t = 0) ładunek na okładkach kondensatora jest równy zeru i z równania (10.2) wynika, że wtedy prąd 7o = e!R. Prąd ładowania skokowo rośnie do wartości maksymalnej w momencie zamknięcia obwodu, po czym wykładniczo maleje do zera. Prąd maksymalny ma taką samą wartość, jaką miałby prąd stały w obwodzie niezawierającym kondensatora.

Napięcie na kondensatorze U_c w dowolnej chwili wynosi s—RI i zmienia się w czasie według równania:

r

U_c=£(l-e ^RC).    (10.6)

Napięcie na kondensatorze rośnie początkowo szybko, a następnie coraz wolniej, żeby dojść do napięcia nasycenia równego SEM źródła. Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Matematycznie stwierdzamy, że U_c—>£, gdy f—»oo. W praktyce kondensator uważamy za naładowany po czasie t=5RC.

Wykresy równań (10.5) i (10.6) są przedstawione na rysunku 10.2.

Przebieg rozładowania

Gdy okładki naładowanego kondensatora połączymy bezpośrednio opornikiem R (przełącznik w położeniu b), wówczas przez opornik popłynie prąd w kierunku przeciwnym niż przy ładowaniu. W tej sytuacji drugie prawo Kirchhoffa przyjmuje postać: