70 (82)

w taki sposób, aby

(AX-L)⁷M(AX-L)= min

gdzie

	J	0	!	0
	^0	2	0	0
	i	0	4	0
	0	0	0	1

Rozwiązanie

Rozwiązaniem układu równań A X = L o wskazanej w treści zadania własności jest wektor X = AÓ_M)L.

Wyznaczając uogólnioną odwrotność A/j^i). warto zauważyć, że skoro R(A) — r — 2, więc macierz Ae 9\‘^J'³ nie jest kolumnowo pełnego rzędu. Ponadto d = m-R(A) = l. Zatem macierz A należy przedstawić w następującej postaci blokowej (A₍ e    A₂ s Oi"^-'⁷):

A = [a |,A,j =

I 0	f		1 0'
-1 ]	— 2	-►A, =	-1 ]
2 I	1	i	2 1
^1 0	1.		i 0

r~ 2    <1=1

24 7"	(a[m A,r^! =±.	6 -1	_	0.063	— 0.074*
. ^7 6,	^1 '' 95	~ 7 24		-0.074	0.253_

Jeśli obliczymy A[M Aj uzyskamy

(A⁷ M A)'

(AfMA,)"^1	0		0.063 -0.074	-0.074 0.253	o' 0
0	0		0	0	0

Zatem

W(M)

= (A⁷ M A)^-" A^rM =

(A⁷ M A,A⁷ M

0

0.116 -0.274 0.274    0.063'

0.032    0.653    0.347    -0.074

0 0 0 0

Powracając do wektora niewiadomych, wyznaczymy

	'0.116	- 0.274	0.274	0.063'	3 i		'2.053*		X
^X - A/(M)^L -	0.032	0.653	0.347	-0.074	-1 5	=	1.105	=	y
	0	,0	0	0			0		z
					1

lYzecia niewiadoma przyjęła wartość równą zeru. Inne rozwiązanie uzyskamy, stosując uogólnioną odwrotność w metodzie najmniejszych kwadratów o minimalnej normie, tzn. odwrotność a£_in (zobacz następne zadanie).

Przykład 1.29

Rozwiązać układ równań

2.v + y + x    +

<*> AX = L

w taki sposób, aby

(A X —L)' M (A X —L) =inin

X^TX = min

gdzie

1	0	1	0
0	2	0	0
i	0	4	0
0	0	0	1

Rozwiązanie

W odróżnieniu od poprzedniego zadania, żąda się tutaj takiego rozwiązania układu AX = L, by nie tylko V^TM V = {A X - L)⁷    A X -L) = min, lecz

także X^TX =min. Stawiane wymagania spełnia wektor X o postaci (N = I₃)

M^J

X — A L — AmL

(^AMN ” ^AMI^ = ^AM>> S^dzie

A ⁺ aM

Q?2

(Q]]Qn ⁺Qi2Qf2> *A fM

71