80 (70)

3.5.3. Działania na wielomianach

I_l_J

a) PonS\vnyxvanic wielomianów:

(/»(*) =G»(-v))    & (Aw(p) = Q(p))

(thft-m wielomiany    (dla każdej wartości p

są równe)    zmiennej rzeczywistej x

przyjmują te same wartości)

Uwaga: Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego sarniego stopnia i mają równe odpowiednie współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Porównując dwa wielomiany, należy więc porównać ich stopnic oraz odpowiednie współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

| b) Mnożenic wielomianu przez liczbę k 6 /?:

A- • P(.v) — mnożymy każdy wyraz wielomianu f*( .v ) przez liczbę k e R. i c) Dodawanie wielomianów:

P(.v) -+- 0(.r) - dodajemy wyrazy podobne, i d) Odejmowanie wielomianów:

P(x) — Q( jc) = P(at) + (—Q(jc)) — do wielomianu P(.x) dodajemy wielomian (?( a ) pomnożony przez liczbę k = — 1. e) Mnożenie wielomianów:

i°( at) - Q(.v)- mnożymy każdy wyraz wielomianu P(.r) przez każdy wyraz wielomianu 0(r) i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych, na przykład /^>(r)-0(r) = ^r²-3x + 2j (2r + 7). Posłużymy się tabelką:

(dzielna)    (dzielnik) (iloraz)

v)	2 JC	-3x	2
2jc	2x^3	-6a^2	4x
7	7x^2	— 21a	14

P(x) ■ Q(x) = 2x³+x²- 17jc+ 14 f) Dzielenie wielomianów:

Dzieląc wielomian F(r) przez Q(r)(^ O), otrzymujemy ich iloraz W(jt) oraz resztę /?(r) (która może nie być zerem) — analogicznie do dzielenia liczb całkowitych, na przykład:

123 : 8 = 15 -8 =43 — 40

= 3; reszta = 3 Zatem 123 = 8-154-3

128 : 8 = 16 -8

lub =48 — 48

= =; reszta = O Zatem 128 = 8-16

W przykładzie (1) wielomian P(x) nie jest podziel-ny przez wielomian Q(x) (bo /?(.v) ^ O), zaś w (2) wielomian P(r) jest podzielny przez wielomian Q(x) (bo R(x) = O).

Uwaga: Stopień reszty /?(.v) jest mniejszy od stopnia dzielnika (?( a:) lub reszta /? (.v ) jest wielomianem zerowym.

CHCESZ WIEDZIEĆ WIĘCEJ*

W matematyce stosowanej wielomiany wykorzystuje się do interpolacji. Polega ona na wyznaczaniu wielomianu, którego wykres przechodzi przez zadane punkty płaszczyzny z układem współrzędnych. Szczególnym przypadkiem interpolacji jest wyprowadzenie rów nania prostej przechodzącej przez dwa dane różne punkty.

1