79 (69)

&v

3.5. WIELOMIANY I DZIAŁANIA NA NICH

+ oo)

&5.1. Wprowadzenie pojęcia wielomianu

a) Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie złożone z liczb i/lub liter połączonych znakami działań matematycznych i nawiasami, na przykład 8, x,

-y, 2o(8x-y), 8x² + y\ 1^-^- - a\b.

Liczby to współczynniki. Litery to zmienne.

Jeśli w miejsce liter wstawimy liczby i wykonamy działania, to obliczymy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, na przykład dla x - 2 i y - 3 wyrażenie 8x — y przyjmuje wartość 13.

b)    Jednomian jednej zmiennej rzeczywistej to wyrażenie algebraiczne postaci iloczynu liczby nie-zerowej i litery w potędze naturalnej: ax", a e Jf\{0}, n e N, x e R

a - współczynnik jednomianu x - zmienna rzeczywista n - stopień jednomianu Na przykład 3x* to jednomian II stopnia 3 to jednomian 0 stopnia (3 = 3x°)

Uwaga 1: 0 to jednomian zerowy, który nie ma określonego stopnia.

Uwaga 2:5.v" y* to jednomian dwóch zmiennych xiy.

Jednomian} podobne zawierają te same zmienne w tych samych potęgach, na przykład 3x^s oraz -5x* i 2x*y oraz -j x² y są podobne, a 2x² y oraz ^ xy^! nie są podobne.

c)    Dwumian to suma dwóch jednomianów, na przykład 3x² + x, 2x - 1,3xy + x.

Uwaga: Funkcja liniowa: f(x) = ax + b dla a jt 0 i b / 0 to dwumian stopnia pierwszego jednej | zmiennej rzeczywistej (por. 3.1.1.).

d)    Trójmian to suma trzech jednomianów, na przykład 5x* + x - x, 2x² + x — 1, x² y — 5y + 3. Uwaga: Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy): /(x) = ax² + bx + c dla a # 0, ó # 0, c/0 to trójmian stopnia drugiego jednej zmiennej rzeczywistej (por. 3.2.1.).

e)    Wielomian to suma algebraiczna (wielu) jednomianów, na przykład 3x -2x³+5x² — x + 10,

x² + x + 1,2xy²- 3x² y + x + y. Poszczególne składniki sumy to wyrazy wielomianu.

Uwaga: Jednomiany, dwumiany i trójmiany to szczególne przypadki wielomianów, na przykład:

I 3x⁴= ix*+ 0x³ + 0x² + 0x + 0,

I x^J+x² = x³ + x²+0x + 0,

*’+x- 1 =X³+ 0x² + x - 1.

3.5. Wielomiany i dziali

3.5.2. Definicja wielomianu stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej

Jest to funkcja postaci:

W(x) = a_nx” + a_n _ ,x" ” ¹ + a_m _ ₂x" " ²+ ... +

+tijX² + a,x + o₀x°,

gdzie a_v a,,.., a_n _ ,e R,a_ne /?\{0}, n G N,x G R. Liczby a_v o,,..,a_n to współczynniki wielomianu. Współczynnik a₀ to wyraz wolny wielomianu (x° = 1). Wykładnik n to stopień wielomianu.

Wartość wielomianu w punkcie x₀ jest to liczba

^W(^Xo) * ^an^Xl ^{+ a}n - i|o " ^,+    + «**0 ⁺    aV

Pierwiastek wielomianu to miejsce zerowe wielomianu:

(x₀ — pierwiastek wielomianu) (W(x₀) = 0). Uwaga:

W(l) = a_n + a_n _ , + ... + o, + a₀ (suma współczynników wielomianu)

W(0) = a₀ (wyraz wolny wielomianu)

Przykład odczytania stopnia wielomianu i jego współczynników:

W(x) = 3x^s— 5x³+ 1 to wielomian stopnia V o następujących współczynnikach: przy x : a_i = 3,

przy x⁴: a₄ = 0, gdyż brak wyrazu z x⁴, czyli jest 0 • x⁴, przy x : a₃=—5,

przy x²: a₂ = 0, gdyż brak wyrazu z x\ czyli jest 0 • x², przy x : a_x = 0, gdyż brak wyrazu z x, czyli jest 0 • x, przy x°: a₀= 1 (wyraz wolny).

Wielomian jest uporządkowany, gdy jego wyrazy są uporządkowane według malejących (lub rosnących) potęg.

Wartość wielomianu W(x) = a_nxⁿ + a_n__lx"~^l +... + a,x + a₀ można zapisać inaczej:

= {[... ((a_flx+ </„_,) .-r + a,,.,) .v + ...j + a,jx + a₀ na przykład:

W(x) = d_sx^s+ a_ax + o, x + a₀, inaczej: W(x) = [(a₃x + a₃)x + o,]x + a₀.

Hi druga postać pozwala łatwiej obliczyć wartość wielomianu dla danej wartości x. Jest to tzw. chiński algorytm obliczaniu wartości wielomianu.

3. WIELOMIANY I FUNKCJE WY

O