90 91 (11)

yu

•i— *- r.wr-.'*

Przekształcenia liniowe

0 0		-1 0 0		0 0 7
-2 1 2		2-1 2	II	4 10
-2 1 1		0 1 -I .		4 0 1 J

c) Mamy 1(1) = z + 1, L[x) = 3jc -ł- 3, zatem

- 35	15 ‘
11	11
21	9
11	11 -

• Przykład 9.7

Przekształcenie liniowe L : V—► V ma w bazie {uj, £3, £3} przestrzeni liniowej U i w bazie v2} przestrzeni V macierz

A =

12 3] 4 5 6 J

Znaleźć macierz A' tego przekształcenia w bazach {2u\, £3, £2 + £3} i {t?i — V], 2vj 4- ^2} •

Rozwiązanie

Niech P, Q oznaczają odpowiednio macierze przejścia z ba2y { £1, £2, £3} do bazy {2£i , £3 . £2 + £3} 1 z bazy {£1, £2} do bazy (£1 — V2,2£i + £2} Szukaną macierz A' wyznaczamy z zależności A' = Q~^} AP. Zatem

A'

^1 21 ^1	12 3]	’ 2 0 0	1 f 1 —2	[23 5
	4 5 6 J	n 0 1 .011.	= 3(1 .]	[8 6 11

il

3

10

3

• Przykład* 9.8

Podać przykład baz przestrzeni iZ² i R³, w których przekształcenie liniowe L : R³ —* il² określone wzorem £(x, y. 2) = (r + y,z-y) ma macierz postaci

10 0'

0 2 0

Rozwiązanie

Oznaczmy przez {£j, u₂, £3) szukaną bazę przestrzeni i?³, a przez {£:, £2} bazę przestrzeni R². Z podanej macierzy przekształcenia L odczytujemy związki £(£1) = £1, i (£2) = 2£2, /, ( £3) = 0 Wektor £3 = (13,^3, *3) wyznaczymy z warunków ra+ys =

23 - tfi = 0, czyli t/3 = Z3 = -z*. Możemy więc przyjąć £3 = (1. — 1, — 1)- Wektory £1, £2 musimy dobrać teraz tak, aby stanowiły one uzupełnienie wektora £3 do bazy przestrzeni R³ i jednocześnie, aby ich obrazy były liniowo niezależne. Ze względu na to, że £(1,0 0) = (1,0), £(0,1,0) = (1,-1) możemy przyjąć £1 = (1,0,0), £2 = (0.1,0) W tym momencie wektory £j, £₂ już znamy, bowiem £1 = (1,0), £2 = (2* ”2)

Dziewiąty tydzień - zadania    91

Zadania

O Zadanie 9.1

Napisać maciorze podanych przekształceń iiniowych w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych:

a)    L R³—• R*, L(z,y. z) = (z + y, z + z,y- z,y + 2z);

b)    L : R² —♦ R' X/(i, y) = (4x -f- 3y, ar — 2y, 3x + 5y);

c) L : R³ —• J2³, L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę x : x+2y—4z = 0;

d)    L : R³ —* R \ L jest obrotem o kąt ^ wokół osi Oz:

e)    i R² —♦ #2[z), (L(a, 6))(x) = (a 4- 6)x² — (3a — &)x + 6c

C Zadanie 9.2

Znaleźć z definicji macierze podanych przekształceń liniowych w'e wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych a) L : R³—> R³, L{x,y, z) = {x - y,y - z, z - z),

iii = vi = (1,0,0), u₂ = V? = (l, 1,0), % = % =(1,1,1);

h) £ R^ą—*R², L(ar,y,z,0= (* + y,* + 0»

0: = (1,0,0,0), u₂ = (1,2,0,0), ug = (1,2,3,0), % = (1,2,3,4),

*i =(1.0),    =(1,2);

c)    L R*—*R³, Z/(r,y,z ź) = (x+2z-K, -2x + y-3z-5t. x-y+z + 4£)>

u, = (1,0,0,0), tZ₂ = (1,1,0,0), u₃ = (1,1,1,0), u₄ = (1,1,1,1),

tJi = (0,0,1). *2 = (0,1,1): *₃ = (1,1,1);

d)    L : R² —* R², L jest rzutem prostokątnym na oś Oz,

tli = (1,2), u₂ = (2,3), v_x = (2,1), *2 = (3,2); c) £    22³—* Ji³, £ jest przekształceniem identycznościowym,

tj. L(z,y z) = (z y,z), u_L = (0,1,1), u₂ = (1,0,1), u₃ - (11,0), % =(1.0,0).% = (I_fl,0),% = (l,l,l); f) L : fli[x]—>R₂[x], (Lp){x) = z²p‘(x)_}

Pi = 2x + 3, p₂ = 3x - 4, ęj = x² + x, q₂ = x + 1, g₃ = 1; g*)L: tf„[x]—♦Ł-tW, (Lp)(ar) = p'(x + 1),

x^    zⁿ

Po = 9o s 1, p_t =    = -n- dla 1 $ * $ n - 1, p„ = —.

O Zadanie 9.3

Macierz przekształcenia liniowego L : U —♦ V ma w bazach {t2_Ł, 112}, (rj, H3) przestrzeni liniowych U, V postać

3	2
1	1
2	-4

»2 :