98 (41)

Macierz kowariancji

Jest to macierz o następującej postaci:

Macierz kowariancji

Jest to macierz o następującej postaci:

C_x = EUX-E{X)j{X-E(X)f}--=

X, -£(,¥;>'j

^X-² ~ ^E{X1) [x, - E(XJ). X₂-£(X₂>. X„-E(X_/f)J

[

j

)!(*,, - EU,,)]J EUX₂-E(X₂))[X_n-MX„)\

E{[X_n-E{X_n)r 1

|    J?1[X,-E{X,)]²)    £i(,Y|-£(.V_j)|[.Y₂-/i<X₂)]}

₌ | /■{{X₂ -/i(X₂)1(Xj -- /J.Yj)]}    E[{X-₂ ~m'₂ )l²

|

[/:(!*„ - E{X_n))\X_l - /•(*,)]) E{ [ X„ - £f<*„ )J|A'₂ - E(X₂)})

V (A' |)	i:ov( X,,X,) - ■	• cov( X j, X „)
cov(X2.X,)	V(X2)	• f.yn( X t , X„)
cov( A'/(, X j)	cov(X„,X2) ■■	k(X„)
Ponieważ

V/, j : cmY X/, X j) = cov( Xj, X/)

więc C\ jest macierzą symetryczną. Ze względu na strukturę (wariancje na przekątnej, kowariancje poza przekątną) macierz C_x jest nazywana często macierzą wariancyjno-kowariancyjną.

Jeśli A',, X,.....X_n są zmiennymi losowymi wzajemnie niezależnymi, to

Vi,J:cov(.Yj,Xj) = Q

i stąd C_x jest macierzą diagonalną (macierzą wariancyjną V_x), czyli

	V(X,)	0	0
cx ~ vx -	0	V{X2) ■	0	~ Diag{V(X\),V(X2).....V(X„)}
	0	0	• V{X„)

Px_i.x₁

Px„.x' p A',„AS

Między macierzami C_x i p_x zachodzi relacja:

C_x =<T_Xp_X(t_x    (2.32)

gdzie: o_x = Diagfcr^, a_x,.....<?v_(t)

Wielowymiarowy rozkład normalny

Wektor losowy X ma /i-wymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać (x - realizacja wektora X)

/(x) = (2?t) ^|C_x.j ^ cxp{-~-(x--/i(X)l^rC_x (x -£(X))}    (2.33)

Uwaga:wymiarowy rozkład normalny o wektorze wartości oczekiwanych £{X) - g i macierzy kowariancji C_x będziemy dalej zapisywali jako N>:C_xj.

Graficzną interpretację funkcji gęstości rozkładu normalnego dla n ^:::: 2 przedstawiono na rys. 2.15.

99