ANALIZA 1 SEMESTR5

t m ■9tejsn..ąc wzór Maclaurina obliczyć:

* - i arkiadnością 10~³;    b) v^0.997 z dokładnością 10“³;

r a 1.1 z dokładnością 1CT⁴;    d) sinO.l z dokładnością 10~⁵.

11.5 Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice: ln (2* + 1).

a) lim

X—»oo    X

10

b) lim

„    x¹⁰ — 10x    9

^d)i*I?i z* —5xTT^;

g) lim xlnx;

x—>0+

e) lim

i • ^7r

lnsin —x 1 ln x ’ ln cos x

c) lim

x — arc tg x

j) lim (cos s)^{1 2};

x —*0

x-*o ln cos 3x ’

X

h) Um (-tt — x) tg

ae-ł-TT “    &

k) lim (— arc tg x j ;

■x~► oo \7T    /

f) lim xarcctgx;

CE—*00

i) lim    ctgx^;

x—+0“ \X    J

1) lim (l+x)^lB“.

2J-+0+

Lista 12

12.1 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:

a) f (x) = x³ - 30x + 225x;

^d) f{x) = 3^^; g) f(^x) = adn³ x;

12.2    Uzasadnić tożsamości:

7r

a) arc tg x + arc ctg x = — dla r£l;

7T    1 — X

c) arc tsx = -f - arc tg -- dla x € (-1, oo);

4    1 + x

12.3    Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:

2    * x -/    \    .    1

^b )/W = t-t-

^e) f(^x) = x — 3-y^x;

h) f(x) ■■

lnx'

x³;

b) arc sin

^c) f(^x) = 4x + i;

f) /(a;) = %e~^3x',

1

i) /(x) :

xlnx

2x

= 2 arc tg x dla x 6 (—1,1);

d) arc sin x = arc tg

vT-

dla x £ (—1,1).

a) f{x) = x — 4x ;

d)/(*) = ■ ²

.2 _ ,

g) /(x) = xlnx;

b) /(x) = x +

X

e) /(x) = x - Vx‘, h) /(x) = \fZx — x³;

2x³

c) /(x) =

u; ■

f) /(x) = |x³ — 5x — 6|;

i) /(x) = 2 arc tg x — ln (l + x³).

b) v(x) = arctgi-j-|, [0,1]; d) z(x) = 1 - |9 - x³1 , [-5,1]; f) h(x) = 2 sin x 4- sin 2x, jo, ^irj .

12.4 Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a) u(x) = 2x³ — 15x³ + 36x, [1,5];

c) w{x) = (x - 3)³e^|a:i, [-1,4]; e) g(x) — x — 2-/x, [0,5];

Lista 13

b) Jaka powinna być miara kąta a przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień kola r

-.v ren. trójkąt był największy?

1

13.1 a) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia

2

km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie - 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy

3

doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?