Analiza Ściąga

f±g	f'±g'
c-f	c-f
f-g	f -g +f-g'
f	f-g-f-g'
9	g^2
9°f	g'(n ■ f
ln/	r g'
fC	c ■ f■ f
fB	f'g f^a(rjr + 9'łnn
c	0
X	1
x^n	nx^n~^1
sinx	cosx
cosx	—sinx
tgx	i cns^2x
ctgx	-1 sin^2x
e^x	e^x
a^x	a^xlna
X^x	x^x(l + lnx)
lnx	1 X
	1 xlna
	i
arcsinx	Vl -x^2
	-i
arccosx	Vl -X^2
arctgx	1 1 + x^2
arcctgx	-1 1 + X^2
VI	1 2 VI
VI	1 nVx^n_1

Nierówność Schwartza:

m-m

b — a

Oiyi + ■■■ + x_ny_n)² ^

(^xi² +    + x_n²)(y₁² + - + y_n²)

Zasada ciągłości Dedekinda:

Jeżeli A i B są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych takimi, że dla downolnych a,bER, jeśli aEA, bEB to a<b, to albo w zbiorze A istnieje liczba największa albo w zbiorze istnieje liczba najmniejsza.

Podzbiór A zbioru R nazywamy ograniczonym jeżeli istnieją M,NER takie, że dla każdego aEA M<a<N

Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejsze ograniczenie górne zbioru A.

Kresem dolnym zbioru A nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej xE(0,l) oraz dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność (l+x)ⁿ<l+n*2^nlx

Ciąg (a„) nazywamy malejącym gdy a„>a_nłi

Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych:

1.    O porównywaniu szeregów

Jeżeli szeregi (Zn=i^an: £"= i b_n) spełniają warunek 0 < b_n < a_n i szereg Z“=i a_n jest zbiezny to zbieżny jest szereg Zn=ib_n oraz Zn=ib_n <

Zn=1

2.    Kryterium D'Alemberta

Jeżeli szereg Zn=i^an spełnia warunek (Dla każdego a„>0)

-²¹¹ = c < 1 to szereg jest zbieżny. Jak

^an

C>1 to rozbieżny a jak c=l to nie można stwierdzić.

3.    Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli szereg (a„) spełnia warunek, że dla każdego

n a„>0 oraz lim^^ = c

C<1 - zbieżny, c>l - rozbieżny, c=l = nie można

stwierdzić.

4.    Kryterium o zagęszczeniu

Jeśli a„>0, nGN, ai>a₂>... to szereg Zn=i^an jest zbieżny, gdy szereg Z"=i 2ⁿa₂n

Funkcja ma granicę w punkcie jeżeli ma granicę lewostronną i prawostronną i one są sobie równe.

Twierdzenie Weierstrassa

Jeżeli A jest ograniczonym i domkniętym podzbiorem zbioru R i f:A->R jest funkcją ciągłą, to istnieją x,yEA takie, że dla każdego zEA f(x)<=f(z)<=f(y)

Pochodna funkcji

Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x₀G A jeśli istnieje granica

f(x₀+K)-f(x₀) . .    ,

hm_h_,_ro---i jest skończona.

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie to jest też ciągła.

Twierdzenie Rolle'a

Niech f:<a,b> -> R będzie ciągła i różniczkowalna w (a,b). Niech ponadto f(a)=f(b). Wówczas istnieje w (a,b) punkt c taki, że f(c) = 0.

Twierdzenie Lagrange'a

Niech f:<a,b> -> R będzie ciągła w <a,b> i różniczkowalną w (a,b). Wówczas w (a,b) istnieje c taki, że

= f(c)

Twierdzenie Cauchy'ego

Niech f i g będą funkcjami ciągłymi w <a,b> i różniczkowalnymi w (a,b). Wówczas istnieje punkt c należący do tego zbioru taki, że

m-m /'w

9 W - g(a) g'(c)

Twierdzenie de l'Hospitala

Niech f,g będą funkcjami różniczkowalnymi w (a,b) i —co < a < b < oo. Załóżmy także, że istnieje granica lim_x^_a = c, c należy do R. Jeżeli lim/(x) = 0 i lim£r(x) = 0, to lim = c.

x->a    x->a    x-*adi^x)

Jeżeli f: (a,b) -> R, xE(a,b) oraz istnieje h takie, że (x-h,x+h)E(a,b), w przedziale (x-h,x) jest wklęsła a w (x,x+h) wypukła (lub odwrotnie) to znaczy, że funkcja ma punkt przegięcia równy a.

Przebieg zmienności funkcji:

1.    Dziedzina funkcji.

2.    Czy parzysta, nieparzysta, okresowa. Parzysta: f(x) =f(-x)

Nieparzysta: f(-x) = -f(x)

Okresowa: f(x) = f(x+t)

3.    Granice funkcji na końcach dziedziny.

4.    Asymptoty funkcji.

f(x)

y=ax+b, a = lim_x^„ ——, b = lim_x^„ f{x) - ax

5.    Punkty charakterystyczne wykresu (przecięcia z osiami, miejsca zerowe)

6.    Pochodna, przeciwdzedzina, miejsca zerowe, znaki.

7.    Przedziały monotoniczności.

8.    Punkty krytyczne i ekstrema.

9.    Druga pochodna (dziedzina, miejsca zerowe, znaki)

10.    Przedziały wypukłości funkcji.

11.    Tabela.

Całki - Funkcję pierwotną funkcji f(x) nazywamy taką funkcję F(x), że F'(x) = f(x)

Całką nieoznaczoną nazywamy wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x)

Całkowanie przez części:

Całkowanie przez podstawianie:

I g(f(x))f'(x)dx = G(/(x))

Twierdzenie Newtona-Leibniza

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną f(x) (f:<a,b> -> R) C f(x)dx = F(b)~ F(a)

Całką niewłaściwą funkcji f(x) na przedziale <a,b> nazywamy granicę:

r b    r b

I f(x)dx = lim I f(x)dx J_a    <^a+ J_c

Długość krzywej:

Niech f(x):<a,b> -> R funkcji klasy c¹ (tzn. funkcja jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną 1-go rzędu). Krzywą określoną przez f nazywamy zbiór: (x, f(x)): xE<a,b> d(L) = /_a⁶ sja + (f'(x))²dx

Pole powierzchni obrotowej:

/(^X)V a + [f{x)]²dx

Objętość bryły obrotowej:

V = n f [f{x)]²dx

1!

Twierdzenie Bolzano-Weierstassa

Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Tw. Cauchy’ego

Ciąg (a„) jest zbieżny, gdy:

Dla każdego £ > 0 istnieje N takie, że dla każdego n,m>N spełnione jest:

|a„-a_m|< s

Twierdzenie Taylora

Niech /: (a, /?)->/? będzie funkcją n+1 - krotnie różniczkowalną. Wówczas dla dowolnych a,bE (a,/?), a<b, istnieje c_n+iE(a,b) takie, że:

/'(a)

/(fo)=/(a)+4/(h-a)¹ + -f(ⁿ⁺¹) (a)

+ --— (b-a)ⁿ⁺¹

Jeżeli f:(a,b)->R jest dwukrotnie różniczkowalna oraz dla pewnego xE(a,b), f (x)=0, to:

Jeśli f"(x)>0, to f ma w punkcje x minimum lokalne f"(x)<0, to f ma w punkcje x maximum lokalne

Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a,b) to f jest wypukła w tym przedziale, gdy f"(x)>=0. Wklęsła gdy f"(x)<0.