c6 (2)

Rozdział 5

Twierdzenie o 3 ciągach.

Mamy dane 3 ciągi: a_n,b_n,c_n, spełniające nierówność a_n< b„< c„ (dla n > n_Q). Jeżeli lim a_n = g oraz lim c„ = g,

Yl—*-CC    Yl—*-CC

to wówczas lim b_n = g.

6. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, obliczyć granice ciągów: a) lim ^4" + 5"

yi—* cc

b_n = $    +

a» = {5* a„ S. b_n

c_n = n!5ⁿ + 5ⁿ + 5ⁿ

b yl "S. C_n

lim a_n =lim = 5

Yl—*-CC    Yl—*-CC

lim b_n -lim ^5" + 5ⁿ + 5ⁿ -lim ^3^T5^1F =

Yl—>ZC    Yl—>ZC    Yl—>ZC

lim ii/3-5’¹ =lim 5-^/T = 5

Yl—*-CC    Yl—*-CC

a zatem lim ^4" + 5" = 5

Yl—*- cc

c) lim J(|-)" + (£)" + (£)"

Musimy wyznaczyć, który ułamek

jest największy.

A <    i. < 2

11    9 5_

b_n= ^(j)"⁺(-£-)"⁺( {)"

£ b_n

Cn= J(})ⁿ +(!)"+(})"

b yi £

lim    =lim    */(y)"    =    }

«—*-rc    «—*-rc    ’

lim    -lim    >/(})"+    (})" + (})" =

W—*-rc    «—*-rc    ’

lim JHW =lim (})# = }

W—*-rc ™    W—*-rc

£« = ^(}r+(^r+( {)"

2;?

n²+1

-1 < (-1)" < 1

f) lim

Yl—*CC

2;?

2rc < ^    2rc <

2;?

wN-l '    '    rc^+1

lim -A- -lim —V = 0

Yl—*-cc    « +1    yyz    n

lim    -lim    = 0

Yl—*-CC ^ +1    yi—>-cc ^TT

a zatem

lim (-1)"Al_ = o

oc    «"+l