CCF20090303099

202 Uzupełnienie 3

silniejszym systemie powstają nowe, ale ściśle analogiczne problemy.) Dlatego potrzebujemy nieskończonej sekwencji coraz szerszych systemów aksjornatycznych i nawet redukcja jednego z tych (niekompletnych) systemów aksjomatycznych dla teorii liczb do logiki nie stanowiłaby pełnej redukcji w sensie programu redukcjonistycznego.

Oprócz tego mamy również do czynienia z problemem definicji. Sensem definicji formalnej w sensie programu redukcjonistycznego jest to, że służy ona jedynie jako skrót. W. V. Quine na przykład, wprowadziwszy pewne definicje do swego systemu logiki matematycznej, w następujący sposób pisze o tej sprawie:

„Takie konwencje skrótowe nazywamy definicjami formalnymi (...). Zdefiniować w formalny sposób pewien znak, znaczy przyjąć go jako skrót dla pewnej notacji, która jest już dostępna (...). Zdefiniować znak, znaczy pokazać, jak można go uniknąć”¹.

Takie definicje ma na myśli redukcjonista: chce bowiem wykazać, że na wyższych poziomach nie pojawiają się żadne zasadniczo nowe nieredukowalne elementy: wszystko da się zredukować do najniższego poziomu, do fizyki; jednakże ze względu na skomplikowane sytuacje lub konstelacje fizyczne skracanie definicji staje się konieczne (z powodów, które Mach określił mianem „ekonomii myślenia”).

Nazwijmy takie definicje, służące wyłącznie jako skróty, „definicjami nietwórczymi”. Istnieją bowiem definicje innego rodzaju, definicje twórcze. Nie można ich w formalny sposób odróżnić od definicji nietwórczych, ale odgrywają one całkowicie odmienną rolę - aksjomatów łub nowych hipotez; z tego powodu posługiwanie się nimi w próbach redukcji jest niedopuszczalne.

V

l

Różnicę pomiędzy definicjami twórczymi i nietwórczymi można ująć następująco:

Niech S będzie nowym symbolem, który jest wprowadzany za pomocą definicji formalnej. Jeżeli definicja jest nietwórcza lub gdy ma jedynie charakter skrótu, wówczas wszystkie nowe twierdzenia - to znaczy twierdzenia, których wyprowadzenie jest możliwe w świetle takiej definicji i których nie można bez tej definicji wyprowadzić - będą zawierały symbol 5; definicja taka pozwala nam wyeliminować symbol S z każdego spośród tych nowych twierdzeń. Jeżeli jednak definicja jest „twórcza”, wówczas będziemy mieli twierdzenia nie zawierające symbolu S, lecz których nie można wyprowadzić z aksjomatów, jeżeli nie posługujemy się przy tym definicją wprowadzającą symbol S.

Na pierwszy rzut oka można dojść do wniosku, że takie definicje twórcze nie istnieją. Jednakże są one możliwe i rzeczywiście istnieją; niektóre ich cechy mają wielkie znaczenie dla^programu redukcjonistycznego.

W 1963 roku opublikowałem artykuł Creative and Non Creative Definitions in the Calculus of Probability^A. Za przedmiot moich badań obrałem wówczas rachunek prawdopodobieństwa; uczyniłem tak z różnych powodów, ale przede wszystkim dlatego, że stanowi on system aksjomatyczny, który - jak sądziłem - znałem dobrze, i ponieważ byłem dość dobrze obeznany z metodami dowodzenia, czy dany aksjomat (lub definicja) prowadzi do nowych twierdzeń, tj. do twierdzeń niewywodliwych z pozostałych części systemu aksjomaty cznego.

W tym kontekście interesują nas dwa następujące wyniki moich badań (w moim artykule ilustruję je przykładami):

Jeżeli do systemu aksjomatycznego wprowadzimy definicję stanowiącą skrót lub definicję nietwórczą, wówczas definicja ta może stać się definicją twórczą poprzez:

(a)    pominięcie jednego z aksjomatów

(b)    dodanie nowego aksjomatu.

Dlatego, jeżeli nasz system aksjomatyczny nie jest ściśle ustalony, nigdy nie możemy być pewni, czy definicja jest twórcza czy nietwórczą. ²

1

W. V. Quine, Mathemathical Logic, Cambridge, Mass. 1951, s. 47.

2

{Definicje twórcze i nietwórcze w rachunku prawdopodobieństwa}, Synthese, 15, 1963, ss. 167-186.