CCF20090321008

Toteż uczeni, którzy stworzyli rachunek prawdopodobieństwa (Galileusz, P. Fermat, B. Pascal), w grze w kości właśnie znaleźli prosty i .dogodny materiał, który znacznie ułatwił im pierwsze kroki. Przyjęli, że dobrze wykonana kość stanowi idealny sześcian zbudowany z jednorodnego tworzywa; przyjęli też, że znaki, za pomocą których rozróżnia się sześć ścianek, którym więc odpowiada sześć pierwszych liczb całkowitych, są dostatecznie nieznaczne, aby nie naruszać w poważniejszej mierze symetrii sześcianu.

Pierwsza trudność, którą rozwiązał Pascal w iswojej korespondencji z kawalerem de Mere, dotyczyła dokładnego obliczenia możliwych przypadków. Chodziło o grę zwaną passe^dicc, gdzie rzuca się trzema kostkami, a gracze zakładają się o to, czy. łączna liczba oczek wyniesie więcej niż dziesięć czy też nie przekroczy dziesięciu. Łatwo przekonać się, że szanse obu graczy są równe. Trudność jednak była następująca. Cierpliwie notując wyniki wielkiej ilości partii kawaler de Mere zauważył, że ten z graczy, który stawia na sumę oczek większą niż 10, wygrywa częściej z wynikiem 11 aniżeli 12 oczek; tymczasem, utrzymywał de Mere, 11 oczek można uzyskać sześcioma różnymi sposobami (6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3) i tylomaż sposobami można uzyskać 12 oczek (6-5-1, 6-4-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4). Odpowiedź Pascala była bardzo prosta: rozkład 6-4-1 obejmuje nie jeden przypadek, lecz sześć różnych przypadków; jeśli bowiem ponumerujemy kości lub pomalujemy każdą spośród trzech kości na inny kolor, tak abyśmy je mogli odróżnić, to natychmiast zauważymy, że 6 oczek można uzyskać za pomocą dowolnej spośród trzech kości, a jednocześnie 4 oczka można uzyskać za pomocą dowolnej z pozostałych dwóch kości, co daje łącznie 6 kombinacji. Taki rozkład natomiast jak 5-5-1 można uzyskać jedynie trzema różnymi sposobami, a rozkład 4-4-4 20 tylko w jeden sposób, Jeśli więc chce się ustalić rzeczywistą liczbę różnych sposobów otrzymania 11 czy 12 oczek, należy dla każdego z tych dwu rezultatów obliczyć sumę 6 liczb, odpowiadających poszczególnym rozkładom zestawionym powyżej w nawiasach.

W ten sposób dla 11 oczek otrzymamy (ustawiając owe rozkłady w tym porządku, w jakim wypisaliśmy je powyżej):

B+6+3+6+3+3— 27,    ^!

podczas gdy dla 12 oczek otrzymujemy 6 + 6 + 3+3 + 6 + 1=* 25.

Wnioskujemy zatem, że na 27 przypadków uzyskania sumy 11 .powinniśmy tylko 25 razy uzyskać sumę 12; rezultat ten całkowicie zbiega się z obserwacjami kawalera de Mere.

(8) próby powtarzane

Uwaga Pascala dotycząca jednoczesnego rzutu trzema kostkami jest stosowna w całej pełni i w tym przypadku, gdy kostki wyrzuca się nie jednocześnie, lecz kolejno jedną po drugiej, aby następnie obliczać łączną liczbę oczek uzyskanych w trzech rzutach. W tym wypadku można zresztą posłużyć się jedną tylko kością; i tym razem rozkład 6-5-1 na przykład otrzymalibyśmy sześcioma różnymi sposobami, gdyż 6 oczek można uzyskać bądź w pierwszym, bądź w drugim, bądź w trzecim rzucie, a jednocześnie 5 oczek można uzyskać w którymkolwiek z diwu pozostałych rzutów.

Przy najprostszej grze — w orła i reszkę jest rzeczą jasną, że jeśli Piotr i Paweł postanowią rozegrać partię złożoną z 4 kolejnych rzutów, to zaistnieje 5 rozmaitych możliwości odnośnie ogólnego rezultatu gry: Piotr mógłby wygrać 4, 3, 2, 1 lub 0 razy, gdy Paweł wygrałby odpowiednio 0,1,

21