CCF20090321044

paradoks petersburski

(45) sformułowanie paradoksu

W XVIII wieku najwybitniejsi francuscy teoretycy prawdopodobieństwa w korespondencji prowadzonej pomiędzy Paryżem a Petersburgiem sformułowali i poddali wnikliwej analizie problem, który upamiętnił się pod nazwą paradoksu petersburskiego.

Piotr i Paweł umawiają się, że rozegrają partię gry w orła i reszkę lub innej gry, w której szanse obu graczy są równe, na następujących warunkach: Jeżeli Piotr wygra pierwszy rzut, Paweł wypłaci mu 2 franki i gra zostaje zakończona. Jeżeli Piotr przegra pierwszy rzut i wygra drugi, Paweł wypłaci mu 4 franki i gra zostaje zakończona, jeżeli Piotr przegra n pierwszych rzutów i wygra n-ty rzut, Paweł wypłaci mu 2ⁿ franków. Zadanie polega na tym, aby określić, jaka powinna być stawka Piotra, tj. suma, którą ma wypłacić Pawłowi przed rozpoczęciem gry, tytułem wyrównania powziętych przez Pawła zobowiązań.

Rezultat okazuje się wręcz paradoksalny: stawka ta powinna być nieskończenie wielka; innymi słowy, jakąkolwiek wysoką opłatę wstępną nałożono by na Piotra, gra będzie dla niego korzystna, a więc mógłby on przed rozpoczęciem gry odprzedać uzyskaną promesę za jeszcze wyższą cenę.

Rachunek, który prowadzi do tego wyniku, jest

zupełnie prosty i wydaje się niepodważalny. Sprowadza się on do obliczenia globalnej nadziei matematycznej Piotra; ta globalna nadzieja matematyczna stanowi, oczywiście, sumę nadziei matematycznych związanych z poszczególnymi możliwymi wynikami gry, które przynoszą Piotrowi wygraną; Piotr mógłby przecież odprzedać każdą z tych nadziei matematycznych innemu nabywcy.

Rozważmy więc przypadek, kiedy Piotr wygry-. wa n-ty rzut przegrawszy uprzednio n-1 pierwszych rzutów. Prawdopodobieństwo takiego wyniku wynosi 1/2⁷¹; tyle bowiem wynosi prawdopodobieństwo tego, iż n kolejnych rzutów przyniesie ten czy inny zawczasu określony rozkład kolejnych wygranych obu graczy. Zgodnie z warunkami gry, wygrana Piotra wynosi w tym przypadku 2ⁿ; jego nadzieja matematyczna (iloczyn prawdopodobieństwa przez wielkość wygranej) równa się zatem jedności; tyle wynosi cena, za którą Piotr mógłby sprzedać nabywcy, skłonnemu uiścić „uczciwą” opłatę wstępną, swe szanse na wygranie n-tego rzutu przy jednoczesnym przegraniu n-1 poprzednich rzutów.

A że rozumowanie to jest słuszne przy dowolnej wartości n, przeto globalna nadzieja matematyczna Piotra jest równa sumie nieskończonego ciągu, którego wszystkie wyrazy są równe jedności; a zatem owa nadzieja matematyczna jest nieskończenie wielka.

Tymczasem wydaje się oczywiste, że żaden zdrowo myślący i choć trochę doświadczony gracz nie zechciałby na miejscu Piotra ryzykować nawet 100 franków wzamian za promesę Pawła. Na tym polega „paradoks petersburski”.

Wśród proponowanych rozwiązań owego paradoksu jednym z najbardziej osobliwych była teoria moralnej nadziei matematycznej¹, teoria porzucona dziś, choć skądinąd oparta na pewnych bez-

1

Reprezentowana prrss E>. Bsrnoulliego. (Prrypią t*u«

maeaa).