CCF20120509069

v /,^.^v ii. nu£TTi^/iaiua i uu|iunicu£i

4. Haskie przepływy płynu doskonałego

267

4.2.7. Potencjał zespolony

czyli

^{w(z) =} £^ln(^z"7

możemy przedstawić w następującej postaci:

= ~

QL (x²— y² — L²) — i-2xy n (x² — y² — L²)² + 4x²y²'

w(z) = ^-ln-2n

z² —a²

= — [ln(z + a) + ln(z — a) — lnz], z 2ti

Po przywróceniu części rzeczywistych i urojonych ostatniego równania wyznaczymy lądowe wektora prędkości, a zatem

QL x²-y²-L²

czyli

n (x² —y² —L²)² + 4x²y²

w(z) = ^-ln(z + a) + ^-ln(z — a) — ^-lnz. 2 Tt    271    271

oraz

QL

2xy

Z otrzymanej zależności wynika, że w punktach z = —a oraz z = a płaszczyzny zespolonej znajdują się źródła, a w punkcie z = 0 — upust.

^Vy    n (x²-y²-L²)² + 2x²y²'

4.2.8. Potencjał zespolony

w(z) = wj(z) + w₂(z).

Ponieważ

13. Ruch wirowy

4.3.1. Prędkość zespolona

w_y{z) = £dn(z + L), w₂(z) = - ~ln(z-L),

ol II/.

d w dz

= ^Vx~^lVy

(1)

stąd

z -f- L z — L

d w dz

i r i

2n z

i r

2nr

(cos 9 —i sin 9),

W celu określenia pola prędkości przepływu, obliczamy prędkość zespoloną

dw Q z — L z — Lr-z — L ¹ d z 2rt z + L (z — L)²

czyli

dw_    QL 1

dz    7i z² — L²

Z uwagi na to, że

d w

—— =Ł)—it;    oraz z = x + iy,

dz

wartość

.-yli

dw    ir    r

— =--cos9--sin.9.

dz    2nr    2nr

(2)

przyrównaniu części rzeczywistych i urojonych równań (1) i (2) orzymamy:

r    r

v_x = — -—sin9,    v_y = -—cos9.

2nr

2nr

Moduł prędkości wiru

v = _s/v²x + v²y,

nilem

QL 1    1

Ti (x + iy)² —L² (x² — y² — L²) -f i ■ 2 xy ’

2nr

v =