CCF20120509010

4. Płaskie przepływy płynu doskonałego

4.1. Funkcja prądu i potencjał prędkości

4.1.1.    Funkcja prądu il/(x,y,t) = x²y+ (2 +t)y² opisuje płaski, nieustalony przepływ płynu doskonałego. Wyznaczyć pole prędkości przepływu oraz obliczyć prędkość i przyspieszenie cząsteczki płynu, która w chwili t — 2 znajduje się w punkcie K(2,3).

4.1.2.    Płaski, nieustalony przepływ płynu określa wektor prędkości v = (a + bt)i-f + xj. Wyznaczyć:

a)    równanie linii prądu, która w chwili t = t₀ przechodzi przez punkt /C(1,2),

b)    równanie toru elementu płynu, który w chwili t = t₀ znajduje się w punkcie K(l,2) pola przepływu,

c)    udowodnić, że dla b = 0, tj. w przypadku przepływu ustalonego, linia prądu pokrywa się z torem poruszania się elementu płynu.

4.1.3.    Płaski przepływ płynu doskonałego określają składowe wektora prędkości v_x = x + t * ^vy — —y + t. Wyprowadzić równanie linii prądu oraz równanie toru poruszania się cząsteczki płynu, która w czasie t = 0 znajduje się w punkcie K(- 1,-1).

4.1.4.    Powierzchnię ziemi w otoczeniu miasta stanowi płaszczyzna x,y, na której wyidealizowanym źródłem emisji spalin jest komin, znajdujący się w początku układu osi współrzędnych. Pole prędkości wiatru opisują składowe v_x = vcoswl i v_y = — v sin cot, przy czym v oraz co mają wartość stałą.

a.    Wyznaczyć i naszkicować rodzinę linii prądu wiatru.

b.    Określić rodzinę torów poruszania się cząsteczek spalin, które w czasie t = t₀ znajdują się w punkcie o współrzędnych (x₀,y₀). Przedstawić graficznie tory poruszania się kilku cząsteczek spalin, opuszczających komin w różnym czasie t₀. Napisać równanie toru poruszania się elementu dymu, który wypływa z komina w chwili /„ - 0.

4.1.5.    Dana jest funkcja prądu

•A = \ax²y² - ^(x⁴ + y^Ą) + C,

lidzie a i C mają wartości stałe. Obliczyć prędkość v oraz objętościowe natężenie I>i /opływu strumienia o grubości b, ograniczonego liniami prądu, które przechodzą przez punkty /C(0,0) i K,(l,l).

4.1.6.    Nieustalony przepływ płynu doskonałego opisano za pomocą wektora prędkości: v = xi —(y + t)j. Wyznaczyć funkcję prądu oraz wykreślić rodzinę linii prądu w chwili t — 1.

4.1.7.    Zbadać, czy funkcje

(Pi(x,y) = x + 2y,

<P₂(x,y) = x² — 2y²

mogą być potencjałami prędkości płaskiego, ustalonego ruchu potencjalnego płynu doskonałego.

4.1.8.    Jaka zależność musi zachodzić pomiędzy stałymi a i b, aby równanie:

ę = ax³y + bxy³

określało potencjał prędkości. Ponadto dla otrzymanego potencjału wyznaczyć:

a)    funkcję prądu,

b)    moduł wektora prędkości v.

4.1.9.    Pole prędkości ustalonego przepływu płaskiego określają stałe wartości śladowych wektora prędkości:

v_x = a oraz v_y = b,

Udzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Zbadać, czy przepływ jest potencjalny oraz wyznaczyć potencjał prędkości i funkcję prądu.

4.1.10.    Dane jest pole prędkości przepływu:

v_x = -ay, v_y = ax,

iid/ie a jest wielkością stałą. Wyznaczyć równanie torów poruszania się cząsteczek Iilynu oraz określić kierunek ruchu cząsteczek.

4.1.11.    Płaski przepływ płynu doskonałego określa potencjał prędkości i/i Cln_x/x² + y², który spełnia równanie Laplace’a. Wyznaczyć i przedstawić graficznie rodzinę linii prądu oraz linii o stałym potencjale.

4.1.12.    Pole prędkości płaskiego przepływu płynu doskonałego określają składowe wektora prędkości:

y² — x²    2 xy

^Vx = (x² + y²)²’    ^V’ ⁼ “ (x² + y²)²'

Sprawdzić, czy przepływ jest potencjalny (niewirowy), wyznaczyć potencjał prędkości oraz funkcję prądu, a także określić kształt linii prądu i linii ekwipotencjalnych.