CCF20120509066

4.2.2. Funkcję prądu rozważanego przepływu możemy przedstawić w następującej postaci:

	ł(x,y) =--~~ x^2 + y
Z zależności	d(p 3^ 3 x ^Vx 3 y
oraz	0 (p 0 ijj 3y ^Vy 3x
otrzymamy	3<p y^2 — x^2
	3 x (x^2 + y^2)^2
oraz	3<p 2xy
	3y (x^2 + y^2)^2

Całkując równanie (2) względem y, otrzymujemy:

<p{*,y) = ~Y~—j + /(*).

x² + y²

(3)

skąd po zróżniczkowaniu

d<p y² — x²

+ f'(x).

3x (x²+y²)² Z porównania wyrażenia (4) z równaniem (1) wynika, że

f'(x) = 0,

zatem

f(x) = C = const,

(4)

wobec tego potencjał prędkości

(p(x,y) =

x

x² + y²

Z definicji potencjału zespolonego,

w (z) = ę(x,y) + 'u//(x,y),

stąd po podstawieniu znanych funkcji (p(x,y) oraz \p{x,y),

w(z) =

x — \y

x² + y² * x² + y² x²+y²’

czyli

w(z) =

x — ty

(x + iy) (x —iy) x + iy'

Ponieważ

x + i y = z,

zatem

1

w(z) =

Z

Otrzymany potencjał zespolony w(z) = 1/z reprezentuje źródło podwójne, nazywane dipolem.

4.2.3. Dla znanej wartości

oraz

potencjał zespolony

C = a + ib z = x + iy,

w(z) = </>(x,y) + iiA(x,y) = (a + ib)(x + iy),

i żyli

<p(x,y) + ii/z(x,y) = ax-by + i(bx + ay). f przyrównania części rzeczywistej i urojonej otrzymamy:

ę - ax — by, i// = bx + ay.

Kównanie rodziny linii prądu

t/f = bx + ay = const

"pisuje proste równoległe, tworzące z osią x kąt

a = arctg^—

i rodzina linii ekwipotencjalnych

cp = ax — by = const

i' a do nich ortogonalna.