CCF20120509067

262 Część II. Rozwiązania i odpowiedzi

4.2.5. a. Potencjał zespolony w(z) = Cz" możemy przedstawić w układzie współrzędnych biegunowych, w którym

z = re'⁹ = r(cos9 + isin$),

a zatem

w(z) = Cr"e'⁹ = Cr"(cosn,9 + isinn,9).

Ponieważ zatem potencjał prędkości

<P = Cr"cosn5,

a funkcja prądu

iA = Cr"sinn9.

Dla poszczególnych wartości n potencjał prędkości oraz funkcja prądu mają następującą postać:

n = 4	<P = Cr^4 cos4,9,	<A	= Cr^4sin4,9,
n = 2	<p = Cr^2 cos 2.9,	<A	= Cr^2sin29,
n = 1	q> = Cr cos 9,	•A	= Crsin9,
2	^ ^2 2	<A	^2 2
^n = r	= Crs cos-9,		= Cr3sin-9,
3	3		3
1	^1 .9	•A	„i .9
" ^= 2	ę = Cr2 cos-,		= Cr2sin-. 2

b. W celu wyznaczenia składowych wektora prędkości, korzystamy z następującego równania:

d w -=v_x-w.

dz    ^y

Ponieważ

dw

dz

= nCz" ¹ = nCr" ¹ {cos [(n — 1 )ć93 + • sin [(n — 1 )t9)]},

przeto

v_x = nCr"^-1 cos (n— 1)S

oraz

v_y = — nCr"~¹ sin(« — !)$•

g)

Podstawiając poszczególne wartości wykładnika n otrzymamy:

dian = 4    v_x = 4Cr³cos3i9,    v_y = -4Cr³sin3y,

ⁿ — ²    v_x = 2Crcos9,    _Vy = -2Crsin,9,