CCF20120509064

254 Część II. Rozwiązania i odpowiedzi

Jeżeli natężenie wypływu ze źródła

Q = 2 nrv_r,

czyli

Q = 2t:C ,

to stała

a zatem funkcję prądu i potencjał prędkości możemy przedstawić w następującej postaci:

/    Q o    e,

w =—3 oraz (P = —-lnr.

'    2n    2 Ti

W rozpatrywanym przypadku linie o stałym potencjale tworzą rodzinę wspól-środkowych okręgów (rys. 11-4.5).

4.1.12. Przepływ potencjalny, czyli niewirowy, musi spełniać następujący warunek.

lub

0x 3y

0 x 0y

Dla danych składowych wektora prędkości:

oraz

y² — x²

’^2)^2	oraz vv =
	2y(3x^2 —y^2)
0X	(x^2+y^2)^3
0^	2y(3x^2 —y^2)
0y	(x^2 + y^2)^3 ’

(x² + y²)²'

2 xy

a zatem spełniony jest warunek niewirowości przepływu.

W celu wyznaczenia potencjału prędkości skorzystamy z poniższego równania;

2 xy

^Vy 0y (x² + y²)²'

skąd po scałkowaniu

V = ₂ ,    2 +/i(-^x)-

x‘^ł + r

Kó/.niczkując funkcję (p względem x, otrzymujemy

x² + y² —2x²    d/,(x)

3x (x²+y²)²

+

dx

= v =

y² — x²

2 i „2\2»

(x² + y

czego wynika, że

z yll

d/i(x)

dx

= 0,

/, (x) = C, = const.

\N związku z tym, potencjał prędkości

^x

(p — —5-j + C j.

x² + y²

I unkcję prądu wyznaczymy z następującego równania:

S ł/r    2xy

3x ⁼ ~^Vy = (x² + y²)^1,

I Imcgo po scałkowaniu

Ho/niez,kując ostatnie wyrażenie względem y, otrzymujemy: 3t/t —y² — x² + 2y² d f₂(y)

+

= v =

y² — x²

Hi III

i i liiiikcja prądu

0y (x² + y²)²    ' dy    (x² + y²)²’

d/₂Cy) _ ₀ d y

f₂(y) = C₂ = const;

<A= -

y

₂- —2 "ł" ^2 ■ x² + y^{2 2}

Miiwminic rodziny linii prądu wyznaczymy podstawiając C₂ = 1/2r, wobec tego

y ₌ J

x² + y² 2 r

P" imzcks/lałccniu

x² + (y-r)² = r².