CCF20120509060

244 Część II. Rozwiązania i odpowiedzi

b. Równania różniczkowe torów poruszania się cząsteczek spalin możemy zapisać następująco:

dx

— = t' = VCOSU)t,

d t

dy

— = v _v = — osincot, d(

a po scałkowaniu

x = —sincot + Cj, co

y = — coscot + C₂.

CO

Dla czasu t = t₀ oraz współrzędnych (x₀,y₀):

C, = x₀--sincot₀,

co

V

C 2 ⁼ y₀ coscor₀, co

zatem

x = x₀ + — (sincot — sincot₀),

co

y = y₀ + —(coscot —COS COf₀).

co

Po przekształceniu równań i obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy:

v . — 5 CO

x— 1 x₀--sincot₀

V

y-\ y₀-~^COS(t)to

V. ₂ = —^sm a>t, co

² v²

= —jCOS cot,

co

skąd po dodaniu stronami:

( ^v ■ \	2	( ^v \
x— x0--sincot0	4-	y-( y0—coscot0
L V ■<*> J J		L V " / J

² o²

co

Wprowadzając podstawienie:

v .    v

x₀--si n a)t₀ = x_K oraz y₀--coscot₀ = y_K,

otrzymamy

v²

(x-x_K)² + (y-y_K)² = -j.

u>

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że linie torów poruszania się cząsteczel spalin są okręgami o promieniu v/co, których środki znajdują się w punktacl o współrzędnych (x_K, y_K) (rys. 11-4.Ib).

OJ

^xk ~ *o.    yk    yo'

1'onieważ komin znajduje się w początku układu osi współrzędnych, przeto

= 0, y₀ = 0,

vyli

x_K = o, y_K= —,

OJ

wobec tego równanie toru poruszania się elementu dymu będzie miało następującą postać:

V \² V²

x+ \y+-, - ₂-

OJ    OJ

4.1.5. Składowe prędkości v wynoszą: