CCF20120509068

2<>4 Część II. Rozwiązania i odpowiedzi

n = 1	^Vx	= c,	^vy	= o,
2		2 19		2 1.9
n = -	vr	= - Cr ^ cos —,		= -Cr 3sm~,
3	X	3 3	y	3 3
1		1 i 9		1 ^1 9
n = -	vr	= -Cr 2cos —,		= - Cr ^2sin-.
2	X	2 2	y	2 2

c. Dla kolejnych wartości n otrzymujemy różne rodzaje przepływów płaskich. Wykreślanie linii prądu rozpoczynamy od wyznaczenia tzw. linii zerowych

«AM) = 0,

dla których musi być spełniony warunek:

sin n9 = 0,

czyli m9 = 0, n, 2n,...itd.

Rodzina zerowych linii prądu tworzy wówczas pęk promieni wychodzących z początku układu osi współrzędnych i spełniających równanie

_    kn

9 = const - —, n

gdzie k = 0, 1,2,...

Jeżeli k — ! i n = 4, to $ = jt/4, a wówczas zerowe linie prądu będą obrócone względem siebie o kąt n/4. Przebieg linii prądu dla tego przypadku przedstawiono na rys. II-4.9a.

Zastępując zerowe linie prądu ścianami, otrzymamy przepływy płaskie w narożach, których kąty są równe n/2 i n/4 (rys. II-4.9b i c).

Dla n = 2 kąt .9 = n/2, wobec tego obraz linii prądu można interpretować jako płaski przepływ w punkcie spiętrzenia (rys. II-4.9d).

Jeżeli n = 1, to kąt ,9 = n, a zatem linie prądu będą równoległe do opływanej płaszczyzny (rys. II-4.9e).

Gdy n — f, kierunek linii prądu zmienia się o kąt \ n (rys. II-4.9f)- W takiej sytuacji następuje podział funkcji prądu na więcej niż jeden obszar Riemanna.

Podobne zjawisko wystąpi, gdy n = dla którego kąt <9 = 2n (rys. II-4.9g).

4.2.6. a. Korzystając z zależności:

d w dz

= V_x-'^Vv>

dl

wyznaczamy składowe wektora prędkości. Ponieważ

w(z) = Clnz,

więc

.„ C    C

= — cos 9 —i —sin >9.

dw _ C _ C dz z r

1’rzyrównując części rzeczywiste oraz urojone zależności (1) i (2), otrzymujemy:

C    C

u = — cos$, v,, = —sin 3.

Moduł wektora prędkości czyli

b. Wydajność źródła

v = y/ol + v²y, C

(3)

przeto

QL= <j>vdA = v(r)Lr j" dv,

o

C

Q = —rn = nC.

(4)

c. Ze wzorów (3) i (4) możemy określić prędkość przepływu w funkcji Q i r,

n zatem:	C = vr
oraz	c.e
	TC
stąd	Q V = -
	nr

(5)

d. Dla analizowanego przepływu możemy sformułować następujące równanie Uernoulliego:

P ₌    ^

p 2 p 2 '

leżeli r->oo, to wobec tego v_w = 0. W związku z powyższym

u²

P-Pa

-^pr

u po podstawieniu wyrażenia (5), rozkład ciśnienia na dachu hali fabrycznej możemy opisać zależnością: