DSC00235 (19)

Praca kontrolna z Wybranych Zagadnień Matematyki dla studentów elektroniki Semestr zimowy (V), styczeń 2007

Nalety w ciągu dwu godzin lekcyjnych odpowiedzieć krótko i zwięźle (najlepiej za pomocą objaśnionych symboli) na poniższe pytania i wykonać polecenia - im więcej, tym lepiej. Pogodzenia!

1. a) Jaki warunek spełnia każde rozwiązanie liniowego zadana najmniejszych kwadratów Ax~b zdanymi /Ś€R"*,6€R"? Czy to zadanie ma rozwiązane dla dowolnych danych? Wektor x jest rozwiązaniem tego zadania wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązaniem układu równań normalnych GauBa pierwszego rodzaju. Wypisać ten układ równań Podać postać układu równań normalnych, zregularyzowanego metodą Tichonowa.

b) Jak określa się rozwiązanie uogólnione liniowego zadania najmniejszych kwadratów Ax-6? Jak można je przedstawić za pomocą macierzy A* (uogólnionej odwrotną do A )? Obliczyć je dla

zadania z danymi A -

3 0 0 0

b-

2. a) Algorytm GauBa z pełnym wyborem elementu głównego umożliwia obliczenie w arytmetyce zmiennoprzecinkowej R(fl,i₉d) rozwiązania układu równań Ax-b, A eR'^w,t dct(id)*0, 6*0, z błędem względnym nie większym niż w oszacowaniu (prawdziwym gdy zachodzi nierówność

M.|'^rV^n+,)³’’M^v'<°-^2):    ^ 1 ii [|4r|'⁴'iJ[(»-^M)^,*(»)]*'=|pM?ⁿ'kW'•*. •^v

(gdzie <p{n) jest stałą Wilkinsona). Objaśnić, używając właściwych symboli, jakie wartości mają w tym przypadku wskaźnik uwarunkowania zadania obliczeniowego i stała kumulacji błędów tego algorytmu oraz oszacowanie jednostkowego błędu zaokrąglenia w tej arytmetyce. Czym różni się od podanego podobne oszacowanie dla algorytmu z częściowym wyborem elementu głównego? b) Jakiej liczbie równa się wskaźnik uwarunkowania cond,^) (w normie wierszową) nieosobliwej

macierzy A e R"'*? Obliczyć go dla macierzy A =

i o"

-2 1

3.    a) Wypisać wzory na postacie Newtona i naturalną wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a, opartego

na parami różnych węzłach x^,x,,..., x_n e(a,b), dla funkcji /:(a,b)-yR (przynajmniej ciągłej). Podać jaki jest związek między współczynnikami tego wielomianu w postaci Newtona a ilorazami różnicowymi interpolowanej funkcji. Podać, jakim algorytmem należy obliczać poprawnie numerycznie wartości tego wielomianu, gdy już znane są współczynniki jego postaci naturalną, b) Wypisać wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla funkcji /(x)=x³+x² + x+1 na przedziale (0;3), oparty na węzłach 0,1,2,3.

1 V JO O 00 _1		0,6 - 0,8'	'4 0'	i— v© cf 00 c?
2,92 1,44		0,8 0,6	0 1	oo' o' i V© o'i

oraz

4.    a) Przyjmując za dany rozkład macierzy A g R"’* według wartości szczególnych, A = V EV^T, przedstawić w podobny sposób macierz uogólnioną odwrotną do A i opisać krótko charakterystyczne cechy wszystkich macierzy w jej rozkładzie. Kiedy macierz uogólniona odwrotna równa jest odwrotną?

b) Znaleźć wartości szczególne macierzy A przedstawić podobnie (w postaci iloczynu trzech macierzy) macierz uogólnioną odwrotną do nią. Wyznaczyć jej normę euklidesową.

5. a) Podać wyrażenia norm || , p = 1,2,oo, dla wektorów z przestrzeni R". Jakie nierówności zachodzą

między normami euklidesową i nieskończonościową dla dowolnego ustalonego wektora xeR"? b) Jak określa sie normę \A\_p macierzy A e R*" zgodną z normą |xj^ wektorów x e Rⁿ ? Jakiej co

najmnią liczbie równa jest norma \A\ gdy wiadomo, że \Ax\_/i = 10 i Jx|^ - 5 ?