M. Grzech, B. Szemberg
MA IXE PRE
RI
! P
IX M Z IX Z RE TR P CZ MA P
MAT IXE
RI
ECZ MA Z Z
! AT M Z Z PR Z RI RI EC M! PR RI

Zadanie 1 Skonstruuj macierz A = [aij] wymiaru 3 × 4, jeÅ›li jej elementy dane saÅ‚ wzorem aij = (-1)i+j i2 + j2 .
Zadanie 2
a) Dlaczego żadne dwie z nastepujacych macierzy
Å‚ Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , B = , C = , D = [0 0 0 1] , E = [1 0 0 0]
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 0
1 0
nie sał sobie równe?
b) Dla jakich liczb rzeczywistych x macierze

1 0 2 -6 1 x2 - 1 2 -6
i
0 3 -1 4 0 3 -1 (x + 1)2
sał równe?
c) Dane sał macierze

4 2 1 1 -2 -1
A = , B = , C = .
1 0 1 1 -3 -2
Oblicz: A - 3 · (B + C) i 2 · (A - 2 · C).
Zadanie 3 Niech x, y oznaczajał liczby rzeczywiste. Rozwiałż równanie

3 -4 2
x · - y · = 3 ·
2 7 4
Zadanie 4 Dane sał macierze
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = [1 3 5] , B = 4 , C = 0 1 1 .
-3 0 0 1
Oblicz nastepujace iloczyny (jeśli sał one zdefiniowane):
Å‚ Å‚
A · B, B · A, A · C, C · A, C · B, B · C, C · C.
Zadanie 5 Oblicz wyznaczniki:


1 -2 3 x y x + y

2 -4 1 2

a) , b) , c) 0 5 4 , d)Ć" y x + y x .

5 6 3 7

7 -3 1 x + y x y
Zadanie 6 Rozwiałż nastepujace równanie
Å‚ Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
det 1 3 - x 3 = 0
1 2 5 + x
z niewiadomał x.
RIXEM! PRE
ECZ Z MATR
Z
RECZ Z MA
TRIXEM! P

PRECZ
Z
XEM!

P
M! PRECZ Z
RIXEM!

M
ECZ
M
CZ Z MAT
Z MATRIXE
EM! PREC
IXEM
!

R
MATRIXEM!
M!
PRECZ Z
MAT
ECZ Z MA
ATR
ATRI
R
P

R
P

R
P
Z
C
E
R
P

!
P

!
M
E
T
X
I
C
E
Z
X
I
E
E
E
R
Z

C
M
R
C
!
T
!
R
M
Z
M
Z
C
!
A
Z
P
T
M
!
P
M

Z
A
M
Z
A

E
Z
A
R
E
P
R
M
!
T
Z
Z
X
M
E
E
X
Z
M
C
E
R
E
I
M
R
M
I
Z
C
C
A
X
E
Z
X
R
A
R
X
Z
M
Z
I
T
Z
E
C
T
T
I
C
R
Z
E
R
M
!
Z
Z
A
R
E
R
T
M
!
T
M
A
E
M
A
Z
C
E
X
E
R
Z
C
E
R
P

R
T
P

P

R
C
E
T
A
M
M
Z
E
Z
T
Z
C
Z
R
R
R
R
A
I
C
Z
P
Z
A
M
!
!
X
P
M
I
E
E
I
Z
T
Z
E
R
Z

C
X
Z

X
M
E
M
C
Z
M
R
A
E
C
R
!
M
C
C
A
P
!
!
T
M
E
M
I
M
E
Z
Z
E
Z
E
E
P

Z
E
M
E
X
R
T
I
Z
Z
Z

M
M
Z
X
X
M
M
X
A
!
!
X
R
P
M
E
R
T
X
E
M
I
R
!
I
C
I
!
C
Z
Z
P
I
E
E
!
E
T
Z
I
R
T
A
M
Z
R
P
P
A
M
X
I
M
R
I
R

E
R
E
!
A
M
R


M
X
R
X
E
X
R
!
M
!
T
M
E
T
!
T
R
R
R
I
M
M
P
E
P
A
P
E
T
E
A
R
P
!
!

Z
X
M
P
A
A
R
M
A
C
X
X
R
R
I
M

T

M
Z
M
T
I
R
E
C
E
T
T
E

T
E
R
E
C
A
!
P
R
R
E
X
X
Z
C
I
M
M
Z
X
Z
E
2
Zadanie 7 Sprawdz
, które z danych macierzy sał odwracalne i ewentualnie wyznacz macierz odwrotna:
îÅ‚Å‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1

1 2 0 1 0 1
ïÅ‚ śł
2 0 3 0 0 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) A = b) B = 2 3 0 c) C = -1 3 2 d)Ć" D =
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 2 1 0 1 1 1
1 -1 1 1 3 4
2 1 1 2
Zadanie 8 Pokaż, że jeśli macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 0 b 0 ,
0 0 c
gdzie a, b i c sał liczbami różnymi od zera, to macierz odwrotna równa jest
îÅ‚ Å‚Å‚
1
0 0
a
ïÅ‚ śł
1
A-1 = 0 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
b
1
0 0
c
Zadanie 9 Dla macierzy

1 2 x1 5
A = , X = , B = ,
3 7 x2 18
gdzie x1, x2 sał liczbami rzeczywistymi, zachodzi równość
A · X = B.
Wyznacz macierz X obliczajac macierz odwrotnał macierzy A.
Å‚
Zadanie 10
Loty pewnej linii lotniczej można przedstawić w postaci Loty te można także przedstawić w postaci macierzy:
grafu: Cel
1 2 3 4 5
îÅ‚ Å‚Å‚
Dublin Kraków
0 0 1 1 1 1
1 2
ïÅ‚ śł
1 0 1 0 0 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = 0 0 0 0 1 3 Start
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 0 0 0 4
0 0 0 1 0 5
4
3
Paryż Budapeszt
5
Rzym
a) Oblicz macierz A2 := A · A.
b)Ć" Zastanów sie, jak można interpretować elementy macierzy A2?
Å‚
c)Ć" Oblicz macierz A + A2. Pomyśl nad interpretacjał tej macierzy.