B. Szemberg
MATRIX REAKTYWACJA
Zadanie 1 Klub tenisowy przed nastepnym turniejem tenisowym powinnien ulożyć ranking swoich zawodników.
W tym celu zdecydowano, że każdy zawodnik musi zagrać jednego seta z każdym z pozostalych zawodników. Wyniki tych
rozgrywek podane sa w nastepujacej tabeli:
Zawodnik pokonal:
1. Adam Czarka, Darka, Edka
2. Bartek Adama, Darka, Edka
3. Czarek Bartka, Darka
4. Darek Franka
5. Edek Czarka, Darka, Franka
6. Franek Adama, Bartka, Czarka
a) Wyrazić wyniki rozgrywek w postaci macierzy A, wstawiajac 1 w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, jeśli gracz i
pokonal gracza j, a 0 w przeciwnym wypadku.
b) Obliczyć macierz B = A + A2.
c) Jak za pomoca mnożenia macierzy obliczyć sume elementów w poszczególnych wierszach macierzy B?
d) Korzystajac z poprzednich punktów uszeregować zawodników klubu od najlepszego do najgorszego i wyjaśnić
zasade kryjaca sie za tym rankingiem.
Zadanie 2 Wyznaczyć macierz odpowiadajaca obrotowi wektora dookola osi Oz o kat ¸ w przestrzeni trójwymiarowej.
Obliczyć jej wyznacznik, kwadrat i macierz odwrotna.
Zadanie 3 Pewna firma sprzedaje pieć różnych modeli komputerów osobistych w dwóch sklepach ulokowanych w dużym
mieście. Stan magazynu w każdym sklepie opisuje macierz
Model komputera
A B C D E
4 2 3 7 1 Sklep 1
M =
2 3 5 0 6 Sklep 2
natomiast w macierzy N
Cena (w PLN)
hurt detal
îÅ‚ Å‚Å‚
2100 2520 A
ïÅ‚ śł
4200 5400 B
ïÅ‚ śł
Model
ïÅ‚ śł
N = 5400 7200 C
ïÅ‚ śł
komputera
ðÅ‚ ûÅ‚
8100 9900 D
10 500 14 700 E
zawarte sa ceny hurtowe i detaliczne każdego modelu komputera.
a) Jaka jest wartość detaliczna towaru w drugim sklepie? Jaka jest wartość hurtowa towaru w pierwszym sklepie?
b) Przedyskutować możliwa interpretacje elementów w macierzach M · N i N · M.
c) Jeśli iloczyny te maja sensowna interpretacje, to obliczyć je, a nastepnie podpisać odpowiednio wiersze i kolumny
otrzymanych macierzy.
d) Jak za pomoca mnożenia macierzy obliczyć liczbe komputerów danego modelu dostepna w obu sklepach? Jak
za pomoca mnożenia macierzy obliczyć liczbe wszystkich komputerów dostepnych w danym sklepie? Wykonać
potrzebne operacje.
Zadanie 4 Pewien pensjonat w Bieszczadach cieszy sie zaslużona reputacja dbajacego o specjalne potrzeby zdrowotne
swoich gości. W nastepnym tygodniu kierownik pensjonatu spodziewa sie czterech gości chorujacych na cukrzyce. Goście
ci planuja zostać w pensjonacie przez 7, 14, 21 i odpowiednio 28 dni. Najbliższa apteka polożona jest dość daleko,
dlatego kierownik planuje zakup odpowiedniej ilości insuliny przed przyjazdem gości i zmagazynowanie jej w pensjonacie.
Potrzebne sa trzy różne rodzaje insuliny: lente (o średnim czasie dzialania), semilente (o przedlużonym czasie dzialania)
i ultralente (o znacznie przedlużonym czasie dzialania).
2
Dzienne zapotrzebowanie gości na insuline (w odpowiednich jednostkach) przedstawione jest w tabelce:
Gość 1 Gość 2 Gość 3 Gość 4
insulina semilente 20 40 30 10
insulina lente 30 0 10 10
insulina ultralente 10 0 30 50
a) Za pomoca mnożenia macierzy obliczyć, ile insuliny każdego rodzaju potrzebuja goście.
b) Ile pensjonat musi zaplacić za insuline, jeśli jednostka insuliny semilente kosztuje 27 gr, insuliny lente 24 gr, a
insuliny ultralente 30 groszy.
c) Wyznaczyć dlugość pobytu w pensjonacie każdego z gości, jeśli ich dzienne zapotrzebowanie na insuline jest takie,
jak powyżej, a w sumie beda oni potrzebowali 1180 jednotek insuliny semilente, 580 jednostek insuliny lente i
1500 jednostek ultralente. Zakladamy przy tym, że lacznie pozostana oni w pensjonacie 52 dni.
d) Zakladamy, że dzienne zapotrzebowanie gości na insuline i jej cena sa takie, jak powyżej. Czy jest możliwe
wyznaczenie dlugości pobytu każdego z gości w pensjonacie, jez
eli wiemy, ile kierownik zaplacil za cala potrzebna
insuline? Odpowiedz
uzasadnić.
Zadanie 5 Na rysunku zilustrowano nateżenie ruchu samochodowego w sieci czterech jednokierunkowych ulic w godzinach
szczytu w pewnym mieście. Liczby napisane obok każdej ulicy wskazuja ilość samochodów (na godzine) wjeżdżajacych
do sieci i opuszczajacych ja dana ulica. Zmienne x1, x2, x3, x4 reprezentuja nateżenie ruchu pomiedzy skrzyżowaniami
w tej sieci.
ul. Sowia ul. Orla
a) Plynność ruchu bedzie zachowana, jeżeli liczba samo-
chodów wjeżdżajacych na skrzyżowanie bedzie równa licz-
bie samochodów opuszczajacych to skrzyżowanie. Wy-
700 600
znaczyć równania opisujace plynny ruch na czterech
skrzyżowaniach.
ul. Pawia
x1
b) Rozwiazać uklad równań wyznaczonych w poprzednim 600
800
punkcie.
x4 x2
c) Jaka jest maksymalna liczba samochodów mogacych
przejeżdżać ulica Sowia od ul. Pawiej do Golebiej? A jaka
minimalna?
ul. Golebia
900 x3
500
d) Opisać ruch w sieci, jeśli światla ustawione sa tak, że 1000
400 500
samochodów (na godzine) może przejeżdżać ulica Sowia od
ul. Pawiej do Golebiej.
Zadanie 6 Bilety do Parku Wodnego w pewnym mieście kosztuja 5 PLN dla posiadaczy karty stalego klienta i 7,50 PLN
dla pozostalych gości. Pod koniec każdego dnia znana jest liczba sprzedanych biletów i zysk uzyskany z ich sprzedaży.
Nie wiadomo natomiast, ile biletów każdego rodzaju sprzedano. Nastepujaca tabela zawiera znane informacje z czterech
ostatnich dni:
Dzień: k 1 2 3 4
Ilość sprzedanych biletów k1 1200 1550 1740 1400
Zysk (w PLN) k2 7 125 9 825 11 100 8 650
a) Ile biletów sprzedano w obu kategoriach cenowych podczas każdego z tych dni? Skonstruuj uklad równań opisujacy
ta sytuacje i rozwia ż go stosujac metode macierzy odwrotnej.
b) Drugiego dnia sprzedano 1200 biletów. Czy możliwy byl zysk w wysokości 5 000 PLN lub 10 000 PLN? Odpowiedz

uzasadnij.
c) Opisz, jaki zysk ze sprzedaży biletów byl możliwy do uzyskania tego dnia, gdy sprzedano 1200 biletów.