plik


ÿþR E A K T Y W A C J A (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 1 / 18 MAXIMA Download: http://sourceforge.net/projects/maxima/ http://www.dobreprogramy.pl/Maxima,Program,Windows,13282.html Linki: http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki http://pl.wikibooks.org/wiki/Maxima http://rtopolnicki.dragonia.pl/pliki/wxmaxima.pdf http://www.austromath.at/daten/maxima/index.htm (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 2 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze Loty pewnej linii lotniczej w po- staci grafu: Dublin Kraków 1 2 3 4 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 3 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze Loty pewnej linii lotniczej w po- Te same loty w postaci macierzy: staci grafu: Cel 1 2 3 4 5 Dublin Kraków îø ùø 0 0 1 1 1 1 1 2 ïø úø 1 0 1 0 0 2 ïø úø ïø úø A = 0 0 0 0 1 3 Start ïø úø ðø ûø 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 5 3 4 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 3 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze Loty pewnej linii lotniczej w po- Wprowadzamy macierz do programu staci grafu: MAXIMA: (%i1) A: matrix( Dublin Kraków [0, 0, 1, 1, 1] , 1 2 [1, 0, 1, 0, 0] , [0, 0, 0, 0, 1] , [0, 1, 0, 0, 0] , [0, 0, 0, 1, 0] 3 4 ); Pary| Budapeszt îø ùø 0 0 1 1 1 ïø úø 1 0 1 0 0 ïø úø ïø úø (%o1) 0 0 0 0 1 ïø úø 5 ðø ûø 0 1 0 0 0 Rzym 0 0 0 1 0 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 3 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. (%i2) A2 : A.A; îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie? Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie? 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 A = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 2 A = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = A · A = A2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie? Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 2 w drugim wierszu i pitej kolumnie? Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 2 w drugim wierszu i pitej kolumnie? 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 A = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 2 A = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = A · A = A2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Co oznacza 2 w drugim wierszu i pitej kolumnie? Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 1 Obliczy macierz A2. Jak zinterpretowa elementy macierzy A2 nie le|ce na przektnej? Dublin Kraków (%i2) A2 : A.A; 1 2 îø ùø 0 1 0 1 1 ïø úø 0 0 1 1 2 ïø úø ïø úø (%o2) 0 0 0 1 0 ïø úø ðø ûø 1 0 1 0 0 3 4 0 1 0 0 0 Pary| Budapeszt 5 Rzym (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 4 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 2 Obliczy macierz A + A2. (%i3) A+AÆÆ2; îø ùø 0 1 1 2 2 ïø úø 1 0 2 1 2 ïø úø ïø úø (%o3) 0 0 0 1 1 ïø úø ðø ûø 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 5 / 18 Linie lotnicze Linie lotnicze  Zadanie 2 Obliczy macierz A + A2. (%i3) A+AÆÆ2; îø ùø 0 1 1 2 2 ïø úø 1 0 2 1 2 ïø úø ïø úø (%o3) 0 0 0 1 1 ïø úø ðø ûø 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Jaka jest interpretacja macierzy A + A2? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 5 / 18 Linie lotnicze Programowanie w MAXIMIE Linie lotnicze  Zadanie 3 Oblicza sumy A + A2, A + A2 + A3 + · · · , dopóki wynik nie bdzie macierz, która ma zera co najwy|ej na przektnej. (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 6 / 18 Linie lotnicze Programowanie w MAXIMIE Linie lotnicze  Zadanie 3 Oblicza sumy A + A2, A + A2 + A3 + · · · , dopóki wynik nie bdzie macierz, która ma zera co najwy|ej na przektnej. Sprawdzamy, czy macierz A ma zera poza przektn: (%i4) ZERO(A,n):=block( [i,j,total:false], for i:1 step 1 thru n do [ for j:1 step 1 thru n do [if (i#j and A[i,j]=0) then total:true]], return(total) )$ (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 6 / 18 Linie lotnicze Programowanie w MAXIMIE Linie lotnicze  Zadanie 3 Oblicza sumy A + A2, A + A2 + A3 + · · · , dopóki wynik nie bdzie macierz, która ma zera co najwy|ej na przektnej. Je[li tak, to dodajemy do macierzy jej kolejne potgi: (%i5) NZERO(A,n):=block( [i,k:1,B:A], while ZERO(B,n) do [ k:k+1, B:A, for i:2 step 1 thru k do B:(B+AÆÆi)], return([k,B]) )$ (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 6 / 18 Linie lotnicze Programowanie w MAXIMIE Linie lotnicze  Zadanie 3 Oblicza sumy A + A2, A + A2 + A3 + · · · , dopóki wynik nie bdzie macierz, która ma zera co najwy|ej na przektnej. (%i6) NZERO(A,5); îø ùø 2 3 4 4 4 ïø úø 2 3 3 3 3 ïø úø ïø úø] (%o6) [4, 1 1 1 1 1 ïø úø ðø ûø 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 6 / 18 Linie lotnicze Programowanie w MAXIMIE Linie lotnicze  Zadanie 3 Oblicza sumy A + A2, A + A2 + A3 + · · · , dopóki wynik nie bdzie macierz, która ma zera co najwy|ej na przektnej. (%i6) NZERO(A,5); îø ùø 2 3 4 4 4 ïø úø 2 3 3 3 3 ïø úø ïø úø] (%o6) [4, 1 1 1 1 1 ïø úø ðø ûø 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 Jaka jest interpretacja macierzy A + A2 + A3 + A4? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 6 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y y1 (x1, y1) ± x1 x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y y2 (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) ¸ (x1, y1) ± x2 x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) x2 = r cos(±) · cos(¸) - r sin(±) · sin(¸) ¸ (x1, y1) y2 = r cos(±) · sin(¸) + r sin(±) · cos(¸) ± x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) x2 = r cos(±) · cos(¸) - r sin(±) · sin(¸) ¸ (x1, y1) y2 = r cos(±) · sin(¸) + r sin(±) · cos(¸) ± x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) x2 = r cos(±) · cos(¸) - r sin(±) · sin(¸) ¸ (x1, y1) y2 = r cos(±) · sin(¸) + r sin(±) · cos(¸) ± x2 = x1 · cos(¸) - y1 · sin(¸) x y2 = x1 · sin(¸) + y1 · cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) x2 = r cos(±) · cos(¸) - r sin(±) · sin(¸) ¸ (x1, y1) y2 = r cos(±) · sin(¸) + r sin(±) · cos(¸) ± x2 = x1 · cos(¸) - y1 · sin(¸) x y2 = x1 · sin(¸) + y1 · cos(¸) x1 · cos(¸) - y1 · sin(¸) x2 = y2 x1 · sin(¸) + y1 · cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót x1 = r cos(±), y1 = r sin(±) y (x2, y2) x2 = r cos(± + ¸), y2 = r sin(± + ¸) x2 = r cos(±) · cos(¸) - r sin(±) · sin(¸) ¸ (x1, y1) y2 = r cos(±) · sin(¸) + r sin(±) · cos(¸) ± x2 = x1 · cos(¸) - y1 · sin(¸) x y2 = x1 · sin(¸) + y1 · cos(¸) x1 · cos(¸) - y1 · sin(¸) cos(¸) - sin(¸) x2 x1 = = · y2 y1 x1 · sin(¸) + y1 · cos(¸) sin(¸) cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót y (x2, y2) cos(¸) - sin(¸) R = sin(¸) cos(¸) ¸ (x1, y1) ± x cos(¸) - sin(¸) x2 x1 = · y2 y1 sin(¸) cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 7 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót cd. y (0, 4) (1, 4) (3, 4) (4, 4) (2, 3) (1, 3) (3, 3) (2, 2) (0, 0) (1, 0) (3, 0) (4, 0) x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 8 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót cd. y (0, 4) (1, 4) (3, 4) (4, 4) (2, 3) (1, 3) (3, 3) (2, 2) (0, 0) (1, 0) (3, 0) (4, 0) x cos (52æ%) - sin (52æ%) 0 1 1 2 3 3 4 4 3 2 1 0 · 0 0 3 2 3 0 0 4 4 3 4 4 sin (52æ%) cos (52æ%) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 8 / 18 PrzeksztaBcenia Obrót Obrót cd. y x cos (52æ%) - sin (52æ%) 0 1 1 2 3 3 4 4 3 2 1 0 · 0 0 3 2 3 0 0 4 4 3 4 4 sin (52æ%) cos (52æ%) 0 0.6 -1.75 -0.3 -0.5 1.85 2.46 -0.7 -1.31 -1.13 -2.54 -3.15 = 0 0.8 2.63 2.81 4.21 2.36 3.15 5.61 4.83 3.42 3.25 2.46 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 8 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Kwadrat macierzy R cos(¸) - sin(¸) cos(¸) - sin(¸) R2 = · sin(¸) cos(¸) sin(¸) cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 9 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Kwadrat macierzy R cos(¸) - sin(¸) cos(¸) - sin(¸) R2 = · = sin(¸) cos(¸) sin(¸) cos(¸) cos2(¸) - sin2(¸) -2 sin(¸) · cos(¸) = 2 sin(¸) · cos(¸) cos2(¸) - sin2(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 9 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Kwadrat macierzy R cos(¸) - sin(¸) cos(¸) - sin(¸) R2 = · = sin(¸) cos(¸) sin(¸) cos(¸) cos2(¸) - sin2(¸) -2 sin(¸) · cos(¸) = 2 sin(¸) · cos(¸) cos2(¸) - sin2(¸) Korzystajc ze znanych to|samo[ci trygonometrycznych otrzymujemy macierz cos(2¸) - sin(2¸) R2 = , sin(2¸) cos(2¸) która odpowiada obrotowi o kt 2¸. (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 9 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Macierz odwrotna macierzy R  Zadanie 4 Wyznaczy macierz odwrotn do macierzy obrotu cos(¸) - sin(¸) R¸ = . sin(¸) cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 10 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Macierz odwrotna macierzy R  Zadanie 4 Wyznaczy macierz odwrotn do macierzy obrotu cos(¸) - sin(¸) R¸ = . sin(¸) cos(¸) Macierz odwrotna powinna odpowiada obrotowi o kt -¸, zatem cos(-¸) - sin(-¸) R-1 = R-¸ = ¸ sin(-¸) cos(-¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 10 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Macierz odwrotna macierzy R  Zadanie 4 Wyznaczy macierz odwrotn do macierzy obrotu cos(¸) - sin(¸) R¸ = . sin(¸) cos(¸) Macierz odwrotna powinna odpowiada obrotowi o kt -¸, zatem cos(-¸) - sin(-¸) cos(¸) sin(¸) R-1 = R-¸ = = . ¸ sin(-¸) cos(-¸) - sin(¸) cos(¸) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 10 / 18 PrzeksztaBcenia DziaBania na macierzy obrotu Macierz odwrotna macierzy R  Zadanie 4 Wyznaczy macierz odwrotn do macierzy obrotu cos(¸) - sin(¸) R¸ = . sin(¸) cos(¸) Macierz odwrotna powinna odpowiada obrotowi o kt -¸, zatem cos(-¸) - sin(-¸) cos(¸) sin(¸) R-1 = R-¸ = = . ¸ sin(-¸) cos(-¸) - sin(¸) cos(¸) Aatwo mo|na pokaza, |e cos(¸) - sin(¸) cos(¸) sin(¸) 1 0 R¸ · R-1 = · = ¸ sin(¸) cos(¸) - sin(¸) cos(¸) 0 1 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 10 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y (x, y ) x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y (x, y ) (x, 0) x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y a b x x · = (x, y ) c d y 0 (x, 0) x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y 1 0 x x · = (x, y ) 0 0 y 0 1 0 P = 0 0 (x, 0) x (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y 1 0 x x · = (x, y ) 0 0 y 0 1 0 P = 0 0 (x, 0) x P2 =? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y 1 0 x x · = (x, y ) 0 0 y 0 1 0 P = 0 0 (x, 0) x P2 =? P-1 =? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 PrzeksztaBcenia Rzutowanie Rzutowanie  Zadanie 5 Wyznaczy macierz odpowiadajc rzutowaniu wektora na o[ Ox. y 1 0 x x · = (x, y ) 0 0 y 0 (x, z) (x, w) 1 0 P = 0 0 (x, 0) x P2 =? P-1 =? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 11 / 18 Kryptografia Tabela liter Definiujemy odwzorowanie pomidzy literami a liczbami naturalnymi za pomoc nastpujcej tabeli: A  B C  D E  F G H I J K L A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M N C O Ó P R S Z T U W Y Z y { 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 przy czym spacji odpowiada liczba 0. (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 12 / 18 Kryptografia Tabela liter Definiujemy odwzorowanie pomidzy literami a liczbami naturalnymi za pomoc nastpujcej tabeli: A  B C  D E  F G H I J K L A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M N C O Ó P R S Z T U W Y Z y { 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 przy czym spacji odpowiada liczba 0. Wiadomo[  TEKST JAWNY odpowiada cigowi: 26 7 14 24 26 0 13 1 28 18 29 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 12 / 18 Kryptografia Kodowanie Jawna wiadomo[: 26 7 14 24 26 0 13 1 28 18 29 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 13 / 18 Kryptografia Kodowanie Jawna wiadomo[: 26 7 14 24 26 0 13 1 28 18 29 Macierz kodujca: Jawna wiadomo[: îø ùø îø ùø 26 24 13 18 1 1 1 ðø ûø ðø ûø J = 7 26 1 29 K = 2 1 2 14 0 28 0 2 3 1 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 13 / 18 Kryptografia Kodowanie Jawna wiadomo[: 26 7 14 24 26 0 13 1 28 18 29 Macierz kodujca: Jawna wiadomo[: îø ùø îø ùø 26 24 13 18 1 1 1 ðø ûø ðø ûø J = 7 26 1 29 K = 2 1 2 14 0 28 0 2 3 1 Kodowanie: îø ùø îø ùø îø ùø 1 1 1 26 24 13 18 47 50 42 48 ðø ûø ðø ûø ðø ûø K · J = 2 1 2 · 7 26 1 29 = 87 74 83 66 2 3 1 14 0 28 0 87 126 57 126 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 13 / 18 Kryptografia Kodowanie Jawna wiadomo[: 26 7 14 24 26 0 13 1 28 18 29 Macierz kodujca: Jawna wiadomo[: îø ùø îø ùø 26 24 13 18 1 1 1 ðø ûø ðø ûø J = 7 26 1 29 K = 2 1 2 14 0 28 0 2 3 1 Kodowanie: îø ùø îø ùø îø ùø 1 1 1 26 24 13 18 47 50 42 48 ðø ûø ðø ûø ðø ûø K · J = 2 1 2 · 7 26 1 29 = 87 74 83 66 2 3 1 14 0 28 0 87 126 57 126 Zakodowana wiadomo[: 47 87 87 50 74 126 42 83 57 48 66 126 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 13 / 18 Kryptografia Kodowanie  Zadanie 6 Odkodowa wiadomo[: 22, 43, 41, 42, 77, 68, 37, 67, 81, 26, 50, 54, 23, 45, 34, 25, 43, 57 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 14 / 18 Kryptografia Kodowanie  Zadanie 6 Odkodowa wiadomo[: 22, 43, 41, 42, 77, 68, 37, 67, 81, 26, 50, 54, 23, 45, 34, 25, 43, 57 Tabela liter: A  B C  D E  F G H I J K L A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M N C O Ó P R S Z T U W Y Z y { 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Macierz kodujca: îø ùø 1 1 1 ðø ûø K = 2 1 2 2 3 1 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 14 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 Test: 1 2 3 4 îø ùø 78 84 81 86 Ania ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 1 Jak obliczy [redni liczb Test: 1 2 3 4 îø ùø punktów zdobytych przez 78 84 81 86 Ania ka|dego studenta ze ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø wszystkich czterech testów? ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 1 Jak obliczy [redni liczb Test: 1 2 3 4 îø ùø punktów zdobytych przez 78 84 81 86 Ania ka|dego studenta ze ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø wszystkich czterech testów? ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa 1 îø ùø îø ùø îø ùø 1 78 84 81 86 82.25 4 ïø úø ïø úø ïø úø 91 65 84 92 1 83 ïø úø ïø úø ïø úø 4 ïø úø ïø úø ïø úø 95 90 92 91 · = 92 ïø úø ïø úø ïø úø 1 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 4 75 82 87 91 83.75 1 83 88 81 76 82 4 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 2 Jak obliczy [redni, je|eli Test: 1 2 3 4 îø ùø trzy pierwsze testy maj t 78 84 81 86 Ania sam wag, natomiast waga ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø czwartego testu jest dwa razy ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø wiksza? ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 2 Jak obliczy [redni, je|eli Test: 1 2 3 4 îø ùø trzy pierwsze testy maj t 78 84 81 86 Ania sam wag, natomiast waga ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø czwartego testu jest dwa razy ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø wiksza? ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa 2 îø ùø îø ùø îø ùø 1 78 84 81 86 83 5 ïø úø ïø úø ïø úø 91 65 84 92 1 84.8 ïø úø ïø úø ïø úø 5 ïø úø ïø úø ïø úø 95 90 92 91 · = 91.8 ïø úø ïø úø ïø úø 1 ðø ûø ðø ûø ðø ûø 5 75 82 87 91 85.2 2 83 88 81 76 80.8 5 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 3 Jak obliczy [redni liczb Test: 1 2 3 4 îø ùø punktów zdobytych przez caB 78 84 81 86 Ania klas z ka|dego testu? ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 Statystyka Ocenianie  Zadanie 7 3 Jak obliczy [redni liczb Test: 1 2 3 4 îø ùø punktów zdobytych przez caB 78 84 81 86 Ania klas z ka|dego testu? ïø úø 91 65 84 92 Bartek ïø úø ïø úø W = 95 90 92 91 Czesio ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 Dana 83 88 81 76 Ewa 3 îø ùø 78 84 81 86 ïø úø 91 65 84 92 ïø úø 1 1 1 1 1 úø ·ïø 95 90 92 91 = 84.4 81.8 85 87.2 5 5 5 5 5 ïø úø ðø ûø 75 82 87 91 83 88 81 76 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 15 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji Doradca finansowy: Rodzaj inwestycji Oczekiwany zysk I1 o umiarkowanym ryzyku 10% I2 o podwy|szonym ryzyku 20% (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 16 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji Doradca finansowy: Rodzaj inwestycji Oczekiwany zysk I1 o umiarkowanym ryzyku 10% I2 o podwy|szonym ryzyku 20% Klienci: k 1 2 3 Kwota do zainwestowania k1 20 000 PLN 50 000 PLN 10 000 PLN Oczekiwany zysk roczny k2 2 400 PLN 7 500 PLN 1 300 PLN (12%) (15%) (13%) (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 16 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji Doradca finansowy: Rodzaj inwestycji Oczekiwany zysk I1 o umiarkowanym ryzyku 10% I2 o podwy|szonym ryzyku 20% Klienci: k 1 2 3 Kwota do zainwestowania k1 20 000 PLN 50 000 PLN 10 000 PLN Oczekiwany zysk roczny k2 2 400 PLN 7 500 PLN 1 300 PLN (12%) (15%) (13%) Niewiadome: x1 kwota zainwestowana w I1 przez danego klienta x2 kwota zainwestowana w I2 przez danego klienta (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 16 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji Doradca finansowy: Rodzaj inwestycji Oczekiwany zysk I1 o umiarkowanym ryzyku 10% I2 o podwy|szonym ryzyku 20% Klienci: k 1 2 3 Kwota do zainwestowania k1 20 000 PLN 50 000 PLN 10 000 PLN Oczekiwany zysk roczny k2 2 400 PLN 7 500 PLN 1 300 PLN (12%) (15%) (13%) Niewiadome: x1 kwota zainwestowana w I1 przez danego klienta x2 kwota zainwestowana w I2 przez danego klienta Model matematyczny: x1 + x2 = k1 0, 1 x1 + 0, 2 x2 = k2 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 16 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji cd. UkBad równaD: x1 + x2 = k1 0, 1 x1 + 0, 2 x2 = k2 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 17 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji cd. UkBad równaD: x1 + x2 = k1 0, 1 x1 + 0, 2 x2 = k2 Równowa|ne równanie macierzowe: Inw X K Inw · X = K 1 1 x1 k1 · = 0.1 0.2 x2 k2 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 17 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji cd. UkBad równaD: x1 + x2 = k1 0, 1 x1 + 0, 2 x2 = k2 Równowa|ne równanie macierzowe: Inw X K Inw · X = K 1 1 x1 k1 · = 0.1 0.2 x2 k2 Rozwizanie: X Inw-1 K X = Inw-1 · K x1 2 -10 k1 = · x2 -1 10 k2 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 17 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji cd. Klient 1: x1 2 -10 20 000 16 000 = · = x2 -1 10 2 400 4 000 Klient 2: x1 2 -10 50 000 25 000 = · = x2 -1 10 7 500 25 000 Klient 3: x1 2 -10 10 000 7 000 = · = x2 -1 10 1 300 3 000 (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 18 / 18 UkBady równaD liniowych UkBad oznaczony Analiza inwestycji cd. Interpretacja wyników: 1 1 x1 k1 · = 0.1 0.2 x2 k2 1 Czy równanie ma rozwizanie dla dowolnych prawych stron k1 i k2? 2 Czy wszystkie te rozwizania maj sens dla problemu wyj[ciowego? (M. Grzech, B. Szemberg) MATRIX REAKTYWACJA Kraków 2010 18 / 18

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matrix reaktywacja zadania
Matrix3?pp source
Xenogenic demineralized bone matrix
REAKTYWNOŚĆ ARENÓW
group matrix sub
Matrix (2)
matrix calc
Jak się wydostać z matrixa
białko C reaktywne
efekt matrixa
group matrix example
matrix6uzytk
Reaktywne formy tlenu znaczenie w fizjologii i stanach patologii organizmu
Encyklopedia Matrix
reaktywne formy tlenu
O transformacji duchowej i matrixie, w którym żyjemy

więcej podobnych podstron