Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Zginanie poprzeczne ze ściskaniem
18. ZGINANIE POPRZECZNE ZE ÅšCISKANIEM
18.1. Postawienie zagadnienia
Przy omawianiu zagadnienia mimośrodowego ściskania bardzo mocno zostało podkreślone,
że otrzymane wzory mogą być stosowane tylko wówczas, gdy konstrukcja spełnia warunki
pozwalające na przyjęcie zasady zesztywnienia. Teraz zajmiemy się przypadkiem, który
pokazuje jak istotne są konsekwencje rezygnacji z przyjęcia zasady zesztywnienia i jak
wysoce błędne byłyby wyniki obliczeń przy jej przyjęciu. Przypadek ten występuje, gdy do
ściskanego osiowo pręta pryzmatycznego przyłożone jest jeszcze obciążenie powodujące jego
poprzeczne zginanie (rys. 18.1). W pokazanej na poniższym rysunku belce, układ sił
Z
P X P
w(x)
w
Rys. 18.1
obciążających jest przyczyną jej ugięcia i łatwo zauważyć, że w konfiguracji aktualnej (po
przyłożeniu obciążeń) równanie momentów zginających można zapisać, uwzględniając
wpływ przemieszczeń osi belki na ich wartości, w postaci:
0
M (x) = M (x)+ P w(x) (18.1)
y y
0
gdzie: M (x) - moment zginający w belce nieodkształcalnej.
y
W przyjętym układzie odniesienia równanie różniczkowe ugiętej osi belki ma postać:
2
M (x)
d w(x)
y
= - .
EJ
dx2
y
Podstawienie do niego funkcji momentów (18.1) daje równanie:
0
2
M (x)
d w(x)+ k 2
y
w(x) = - (18.2)
EJ
dx2
y
P
2
gdzie: k = . (18.3)
EJ
y
Rozwiązaniem niejednorodnego równania różniczkowego zwyczajnego (18.2) jest funkcja
w(x)= ws (x)+ Asin kx + B cos kx (18.4)
gdzie: ws(x) - całka szczególna tego równania, A oraz B - stałe całkowania zależne od
kinematycznych warunków brzegowych belki.
Znając funkcję w(x), momenty zginające i siły poprzeczne w belce wyznaczamy z
zależności:
2
d w(x)
M (x)= - EJ
y y
d x2
206
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Zginanie poprzeczne ze ściskaniem
3
d w(x)
Qz (x)= - EJ .
y
d x3
Wartości naprężeń normalnych dla tego przypadku w przyjętych układach odniesienia
wynoszÄ…:
M (x)
P
y
z . (18.5)
à = - -
x
A J
y
18.2. Belka wolnopodparta obciążona siłą w środku rozpiętości
Rozważmy, pokazaną na rys.18.2 belkę wolnopodpartą obciążoną w środku siłą Q,
prostopadłą do jej osi i ściskającą osiowo siłą P.
Z
Q
Q/2 Q/2
P
P
X
l/2 l/2
w(x)
Rys. 18.2
Ze względu na symetrię belki rozpatrywać będziemy tylko jeden przedział 0 d" x d"l 2
Q x
0
Ponieważ M (x)= więc łatwo zgadnąć i sprawdzić przez podstawienie, że:
y
2
Q x
ws (x) = - jest całką szczególną równania niejednorodnego (18.2), w związku z czym
2P
jego całka ogólna ma postać:
Q x
w(x)= - + Asin kx + B cos kx . (18.6)
2 P
Z kinematycznych warunków brzegowych wyznaczymy stałe całkowania:
1/ w(0)= 0
B = 0
Å„Å‚ B = 0
ôÅ‚
Q 1
l
Q kl ,
òÅ‚
A =
2 / w' ëÅ‚ öÅ‚= 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚- + k Acos =0
2kP cos kl / 2
2
ół 2P 2
íÅ‚ Å‚Å‚
a po ich wstawieniu do (18.6) otrzymamy funkcję ugięć belki:
Q sin kx Q x
w(x)= - . (18.7)
2 k P cos kl 2 2 P
Maksymalne ugięcie belki wystąpi w jej środku rozpiętości i ma wartość:
l Q sin kl 2 Q l Q tg kl 2 l öÅ‚
ëÅ‚
max w = wëÅ‚ öÅ‚ = - = - ÷Å‚
.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
3 2
2 2 k P cos kl 2 4 P 2EJ
k 2k
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
y
207
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Zginanie poprzeczne ze ściskaniem
Poprzez szereg przekształceń możemy ostatecznie zapisać:
Q l3
max w= º1(u), (18.8)
48EJ
y
kl tg u
ëÅ‚ - u
öÅ‚
gdzie: u = , º1(u) = 3 .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ u3 Å‚Å‚
Związek między momentem zginającym i drugą pochodną ugięcia daje:
Q sin kx
M(x)= (18.9)
2 k cos kl 2
Maksymalny moment zginający występuje w środku rozpiętości belki i ma wartość:
l Q l
ëÅ‚ öÅ‚
max M = M = º (u), (18.10)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
tg u
gdzie: º (u) =
2
u
Dokonajmy krótkiej analizy wzoru (18.8) podającego wartości maksymalnego ugięcia w
postaci iloczynu maksymalnego ugięcia w belce przy przyjęciu zasady zesztywnienia i funkcji
º1(u). JeÅ›li zauważymy, że argument tej funkcji można wyrazić w zależnoÅ›ci od wartoÅ›ci
E
przyłożonej siły ściskającej P i siły krytycznej Eulera Pkr , gdyż
kl l P Ä„ P
= ,
u = u =
E
2 2 EJ 2
Pkr
y
to dla
Q l3
P = 0, º1(u)=1 i max w = ,
48EJ
y
a dla
E
P Pkr , º1(u)=" i max w " .
Otrzymany wynik pokazuje, że w przypadku przyłożenia siły krytycznej przemieszczenia
belki będą wzrastać do nieskończoności przy dowolnie małym obciążeniu poprzecznym.
Analogiczne wnioski daje analiza wzoru na maksymalny moment zginający. Niżej pokazane
sÄ… wartoÅ›ci funkcji º1(u) i º (u) w zależnoÅ›ci od stosunku P PE .
2
kr
208
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Zginanie poprzeczne ze ściskaniem
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0
P PE
kr
1.110 1.248 1.423 1.658 1.983 2.479 3.301 4.943 9.871
º1(u) "
1.091 1.205 1.351 1.545 1.817 2.223 2.900 4.253 8.307
º (u) "
2
E
Wyniki pokazane w tabelce mogą dowodzić, że przy sile ściskającej o wartości 0.1Pkr
uwzględnienie zasady zesztywnienia może dawać 10% różnice w wartościach momentów
zginajÄ…cych.
18.3. Belka wolnopodparta mimośrodowo ściskana
Teraz przedmiotem rozważań będzie belka wolnopodparta pokazana na rys. 18.3 obciążona
siłami ściskającymi P równoległymi do jej osi zaczepionymi na mimośrodzie e. Zasada de
Saint Venanta pozwala na zastąpienie tej belki równoważną jej belką obciążoną momentami
zginającymi M = Pe na podporach i ściskającą osiowo siłą P.
Z Z
M = Pe
M = Pe
P
P
e e
a"
P
X X
P
l l
w(x) w(x)
Rys. 18.3
0
W tym przypadku M (x)= Pe , a całka szczególna równania niejednorodnego (18.2), równa
y
się: ws(x) = -e , więc jego całka ogólna przyjmuje postać:
w(x)= - e + Asin kx + B cos kx . (18.11)
Stałe całkowania wyznaczone z kinematycznych warunków brzegowych są równe:
B = e
1/ w(0)= 0 B = e
Å„Å‚
e - ecos kl
.
òÅ‚
2 / w(l)= 0
ół- e+ Asin kl + ecos kl =0 A =
sinkl
Stąd funkcja ugięć osi belki przyjmuje postać:
(e - e cos kl)sin kx sin kx - cos k sin kxl + sin kl cos kx
w(x)= - e + + e cos kx = -e + e =
sin kl sin kl
,
sin kx + sin k(l - x)
îÅ‚
= e -1Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
sin kl
ðÅ‚ ûÅ‚
a równanie momentów zginających przedstawia zależność:
sin kx + sin k(l - x)
M (x)= Pe + PeîÅ‚ -1Å‚Å‚ . (18.12)
y
ïÅ‚ śł
sin kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Maksymalne ugięcie belki wystąpi w środku jej rozpiętości i ma wartość:
209
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Zginanie poprzeczne ze ściskaniem
l ëÅ‚ 1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
max w= wëÅ‚ öÅ‚ = eìÅ‚ -1÷Å‚ = e(sec kl / 2 -1), (18.13)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 cos kl 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
stąd maksymalny moment zginający, który też wystąpi w środku rozpiętości, wynosi:
l
ëÅ‚ öÅ‚
max M = M = Pesec kl / 2 . (18.14)
ìÅ‚ ÷Å‚
y y
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ :
kl Ä„ P
= ,
E
2 2
Pkr
E
to przy P Pkr , zarówno maksymalne ugięcie jak i maksymalny moment zginający w belce
zmierzają do nieskończoności przy dowolnie małym mimośrodzie e.
Inaczej mówiąc przyłożenie do belki siły krytycznej powoduje jej zniszczenie, gdyż
praktycznie nie jest możliwe idealnie osiowe obciążenie pręta.
210