DSCN1097 (2)

7.35.    Funkcja f:R -> R spełnia następujące warunki:

I /(O) 10; 2° 2/(x) - 3/(j) | x², dla x 4 0.

Wykazać, że /jest funkcją parzystą i wyznaczyć zbiór jej wartości.

7.36.    Funkcje f :R->R ig : R-*R są rosnące i wzajemnie odwrotne. Wykazać, że równania f{x) = g(x) i f(x) = x są równoważne.

7.37.    Funkcja f :R->R jest określona wzorem postaci f(x) = x² + + px + q. Wykazać, że jeśli 1/(0)| > 1 i/(1) •/(— 1) > 0, to funkcja / nie ma miejsc zerowych należących do przedziału < — 1; 1>.

7.38.    Wykazać, że jeśli a =£ 0, to dla dowolnych b,c,deR wykres funkcji f:R ->R określonej wzorem f(x) = ax³ + bx² + cx + d ma środek symetrii.

7.39.    Wykazać, że jeśli a ^0, zaś liczby a, b, c, d są związane równością:

4abc — b³

d = ——j—, to dla każdego eeR wykres funkcji f.R-*R

o O

określonej wzorem f(x) = ax⁴ + bx³ + ax² -I- dx + e ma oś symetrii.

7.40.    Dany jest wielomian Pokreślony wzorem W{x) - a₀ + a_xx + + a₂x² +... + a^, którego wszystkie współczynniki są liczbami wymiernymi i ponadto a_n ^0.

Wykazać, że jeśli liczba x, = 3 + yjl jest pierwiastkiem wielomianu W, to również liczba x₂ = 3 — <J2 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

7.41.    Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian G, jeśli P(x) = x¹⁰⁰ - 2x" + 2x⁵⁰ - 1, G(x) = x³ - x.

7.42.    Zbadać dla jakich wartości n wielomian Pjest podzielny przez wielomian G jeśli

P(x) = 1 + x² + x⁴ +... + x²ⁿ,

G(x) = 1 + x + x² + x³ + ... + x".

7.43.    Obliczyć:

b)

7.44.    Zbiór A jest zbiorem skończonym mającym n elementów, przy czym n ^ 10.

Wyznaczyć n jeśli wiadomo, że wszystkich 9-elementowych podzbiorów zbioru A jest więcej niż podzbiorów 10-elemen-towych i więcej niż podzbiorów 8-elementowych.

7.45.    Zbiór X jest zbiorem skończonym. Wiadomo przy tym, że wszystkich podzbiorów zbioru X, które mają co najwyżej 4 elementy, jest 386. Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru X?

7.46.    W zbiorze liczb rzeczywistych R określono działanie □ w ten sposób, że jest ono przemienne i dla każdego a, b, ceR spełnia następujące dwa warunki:

1° a □ 1 = 1, 2° (a □ b) • c = [(ac) □ (hc)] — abc (1 — c), gdzie „”i„-” oznacza zwykłe mnożenie i odejmowanie. Wykazać, że działanie □ jest łączne w R oraz, że istnieje w R element neutralny działania □.

7.47.    W zbiorze liczb rzeczywistych R określono działanie KI ^w len sposób, że jest ono przemienne oraz łączne i dla każdego x,yeR prawdziwe są równości:

1° xH0 = x, 2° x B91 = 1,

3° x KK* + y) = (x Kly) + x(l - x).

Obliczyć 3 KI [8 KI (—3)] i rozwiązać równania a) x Kl(x + 1) = — 1, b) x KI* = — 8.

7.48.    W zbiorze liczb rzeczywistych R określono działanie spełniające następujące 4 aksjomaty:

1° A jest przemienne, 2° mnożenie jest rozdzielne względem A, 3° xAx = x, 4° (xAy)Ay = i-[xA(3y)], dla każdego x, yeR.

Wykazać, że dla każdego xeR prawdziwe są równości a) xA(3x) = 2x, b) xA(ix) =

51