DSCN1102 (2)

W przypadku 2° takich liczb jest 6 • 2" " ³.

Natomiast w przypadku 3° liczb spełniających warunki zadania jest 43 • 2" “ ³ — 18.

Wobec tego dla ustalonego n(n > 3),

wszystkich liczb n-cyfrowych spełniających warunki zadania jest 2^{n + 2} + 6*2"“³ + 43-2"“³ — 18 = 81 -2""³ - 18.

1.18.    Wskazówka. Jeśli a nie jest wielokrotnością 5, to a ma postać:

a = 5fc + r. gdzie k e N, r € {1,2,3,4}. Teraz wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki: r=l, r = 2,r = 3, r = 4.

1.19.    Po rozłożeniu liczby a na czynniki otrzymujemy:

(1) a = (n* - l)² (n* + 1) = (n - l)² (n + l)² (n² + l)² (n* + 1). Ponieważ n — 1 i n + 1 są kolejnymi liczbami parzystymi, więc 8|(n + 1) (n — 1), czyli 64|(n + l)² (n — l)².

Liczby (n² + l)² i n⁴ + 1 są liczbami parzystymi różniącymi się

0    nieparzystą wielokrotność 2.

Zatem

8|(n² + l)² (n⁴ + 1)

1    dlatego liczba a jest podzielna przez 8*64 = 512.

1.20.    a) Mamy n = 2k_x + 1 = 3k₂ + 2 = 4k₃ + 3 « 5k_Ą + 4.

Szukana liczba n ma w szczególności postać 5/ + 4 i dla dowolnego leNprzy dzieleniu przez 5 daje resztę 4.

Dalej mamy 5/ + 4 = (41 + 4) -f /.

Reszta z dzielenia liczby (41 + 4) + / przez 4 jest równa reszcie z dzielenia / przez 4.

Zatem, jeśli r(j) = 3, to le {3, 7, 11, 15, 19, 23,

Łatwo sprawdzić, że jeśli 7=3 lub 1=7, to liczba n = 5/ + 4 nie spełnia pozostałych warunków, natomiast dla 7=11 liczba n = 51 + 4 = 59 spełnia wszystkie cztery warunki.

Mamy bowiem

59 = 2*29 + 1 =3 19 + 2 = 4 14 +3 = 5-11 +4.

Zatem najmniejszą szukaną liczbą jest 59.

1.21. Niech n = kp + r, 0 < r < p.

Wtedy wielokrotnościami liczby p niniejszymi od n będą liczby (i tylko one)

P. 2 p.....kp

1.22.    Wykażemy, że jeśli a jest liczbą pierwszą, to b nie może być liczbą pierwszą.

Jeśli a jest liczbą pierwszą, to daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 lub 2, bo a = 2" + 1 > 2³ + 1 = 9.

Gdyby dawała liczbę 1, to liczba 2" > 8 byłaby podzielna przez 3, co jest niemożliwe.

Zatem a — 3k + 2.

Ale wtedy b = a — 2 = 3k oraz b> 2³ — 1 = 7, czyli b jest liczbą złożoną.

Rozwiązanie drugie:

a b = 2²ⁿ — 1 = (2² - 1) (2²"“² + 2²"~⁴ + ... + 2² + 1) czyli 3\a • b skąd wynika, że a = 3 lub b = 3 co jest niemożliwe, bo a>b> 7.

1.23.    Załóżmy, że ne N i n = k² + /², gdzie k > l.

Wobec tego

k — l = m, meN₊, n = (m + O² + /², czyli

n = m² + 2lm + 21², stąd

2n = 2m² + 4/m + 4/² = (2/ + m)² + m².

Ponieważ m > 0 i / > 0, więc 21 + m ± m, a stąd teza.

Uwaga. Można również zauważyć, że 2(a² + b²) = (a + b)² + + (a - b)².

1.24.    1) Rozważmy najpierw przypadek, gdy obie liczby a, b są

parzyste, czyli (a = 2k

(b = 21, gdzie k, leN₊.

Wtedy to równanie (1) a² + b² + c² = d² jest równoważne równaniu a² 4- b² = (d + c) (d — c), czyli równaniu

{d + c) (d - c) = 2(2k² + 2/²).

61