DSCN1106 (2)

Stąd na mocy równania funkcyjnego

= 1

dla każdego xeR.

2.4 /(x) = #• &W = «*•

2.5.    Z równania funkcyjnego mamy

/(1)=/(1.1) = [/(1)]².

Zatem /(1)LA0 — 1] = 0, czyli /( 1)g {0,1} oraz

[/(-l)]²=/(-H-i)) =/(!)•

Jeśli /(l) = 0, to

/(x)=/(l)/(x) = 0,

a funkcja/=0 jest parzysta.

Jeśli /(l) = 1, to albo/(—1) = 1 i wtedy /(-*) =/(- !)•/(*) =/(*) albo/(—1) = 1 i wtedy

/(-*)=/(-!)/(*) = -/(x).

2.6.    Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi takimi, że a < h Wtedy f(a) <f(b) i g(a)<g{b).

Ponieważ max tf(b), g(b))^f(b) i f(b) >/(_a), więc max (f(b), g(b))>f(a).

Podobnie stwierdzamy, że max {f{b), g(b))> g(d).

Z otrzymanych nierówności wynika, że max {f(b)_y g(b))> > max (f(a), g{a)), tzn. h(b)> h (a).

Zatem wykazaliśmy, że z nierówności a < b wynika h(a) < h(b) co oznacza, iż funkcja h jest rosnąca w R.

Analogicznie można wykazać, że funkcja m jest również rosnąca w R.

2.7. Z założenia, że funkcja/jest niemalejąca wynika, że

(1) A (*, <x₂ =•/(*,) *S/(x₂)).

x_x.x₂*X

Ponieważ /jest funkcją parzystą w X zatem (2) A (~xeX i /(x)=/(-x)).

Załóżmy, że x_x < x₂, x_x, x₂eX. Wtedy f{x_x)śf(x₂).

Ponieważ —x, > — x₂, więc ze względu na (1) będzie

zaś ze względu na (2) powyższa nierówność przyjmuje postać (3) f{x_l)>f{x₂).

Porównując (1) i (3) stwierdzamy, że f(x_l)=f(x₂), dla każdego x_lf x₂eX.

2.9. Z nieparzystości funkcji /

Z okresowości funkcji /

2.10. Niech P '== (a, b) i A = (x, y). Oznaczmy przez A ’ punkt symetryczny do A względem punktu P i niech A' = (x\ y¹)-Wówczas

X + x‘

Załóżmy teraz, że punkt A należy do wykresu funkcji/, oznacza to, że A =3 (x,f(x)).

Punkt A’ symetryczny do A względem punktu P ma współrzędne (2a — x, 2b —/(*)) i z założenia należy do wykresu funkcji /. Wobec tego

(1) f(2a-x) =:2b-f(x), w szczególności dla x = o, mamy:

f(2a -a) = 2b - f(a\

69