DSCN1157 (2)

środkiem jest środek boku BC, a promieniem połowa BC, oraz okręgu o środku B i promieniu h. Mając punkty B, C, D konstruujemy punkt O. a następnie punkt A.

A

C Rys. 6.21

B

Jeśli |/i| < |BC|, to zadanie ma jedno rozwiązanie (trójkąt równoramienny). W pozostałych przypadkach zadanie nie ma rozwiązania.

6.22. Wskazówka. Przypuśćmy, że narysowaliśmy prostą / i że przecina ona boki AC i AB odpowiednio w punktach K, L (p. rys. 6.22). Prowadzimy prostą /'||k i przechodzącą przez wierzchołek B. Jeśli M będzie punktem przecięcia prostych /' i AC, to

\AK\-\AL\=-\AC\-\AB\

\AK\ \AL\

\AM\ \AB\'

Skąd

A

Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Rys. 6.22

6.23. Wskazówka. Przypuśćmy, że znaleźliśmy szukane punkty M, N. Niech OeMN będzie takim punktem, że |0M| = \AM\ i|ON| = |JVC|. Przez punkt O poprowadźmy proste równoległe do boków AB i BC przecinające bok AC odpowiednio w punktach K, L (rys. 6.23). Wtedy czworokąty AKOM i LONC są rombami, w których AO i CO są przekątnymi. Wobec tego punkt 0 jest punktem wspólnym dwusiecznych kątów BAC i ACB.

B

6.24.    Wskazówka. Niech punkt O będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Narysujmy cięciwę BE, do której należy szukany punkt D e AC.

Wówczas z podobieństwa trójkątów ADE i BDC wynika, że \ED\ \DC\ , ,

\ad\ ⁼ \bd\’ ^{skąd lAD{}'^|BC| = l^£Dl' l^B°l-

Ale \AD\ ■ |DC| = \BD\², zatem \ED\ = \BD\, (o ile \BD\ # 0), a to oznacza, że punkt D jest środkiem cięciwy BE. Z kolei wiadomo, że środki cięciw, do których należy punkt B, należą do okręgu, którego średnicą jest OB (patrz zadanie 5.50). Zatem punkt D jest punktem wspólnym boku AC i wspomnianego okręgu.

Zadanie ma dwa rozwiązania, jedno lub nie ma ich wcale

w zależności od tego, czy - |OB| jest większa, równa czy mniejsza

od odległości punktu Q od prostej AC (gdzie Q jest środkiem odcinka OB).

6.25.    Wskazówka. Niech |BC| = a, \AB\ = c, \AC\ = b. Oznaczmy również |XB| = x, |LC| = y i poprowadźmy prostą LM\\AB.

171