DSCN1168 (2)

7.29. Niech kolejnymi wierzchołkami równoległoboku będą punkty A i (x,. jifl B — (x₂, y₂)\ C = (x₃, y₃) i D % (x₄, y;).

Niech x, £ IV, natomiast x,e Wdla i = 2, 3, 4 oraz y_te\Vdla i = 1, 2, 3,4. Wtedy pole P równoległoboku wyrazi się wzorem p = |(x₂ - x,)(y₂ - yi) ~ (*₄ - x₁)(y₂ - y_x)|.

Ponieważ (x₂ — x,)^ W i pozostałe różnice są liczbami wymiernymi, więc

Pe W<=> y₂~y\ =0<*>y₂ = y₁,

P$W<=>y₂-y₁ ^0.

Znaczy to, że pole równoległoboku ABCD jest liczbą wymierną tylko wówczas, gdy bok równoległoboku, do którego należy wierzchołek ze współrzędną niewymierną, jest równoległy do jednej z osi układu. Przy czym jeśli niewymierną współrzędną jest x₂, to bok jest równoległy do osi y, natomiast gdy niewymierną współrzędną jest y_h to bok jest równoległy do osi x.

7.30. Wskazówka. Jeśli poszukiwaną miarę kąta, wyrażoną w ra-dianach, oznaczymy przez x, to na podstawie warunków zadania

otrzymamy równanie x — sin x — - = 0. Równanie to możemy rozwiązać graficznie lub rozpatrując funkcję pomocniczą/daną wzorem/(x) = x — sinx —    Odp. x « -.

7.31. Zbiór A jest odcinkiem o końcach K = (0,2); L= (2,0) mającym równanie y — 2 — x, gdzie xe<0; 2).

Zatem dla (x, y)eKL wyrażenie 2x² + 3y² przyjmuje postać 5x² - 12x + 12.

Rozważmy funkcję /: <0; 2) -> R określoną wzorem /(x) = 5x² - 12x + 12.

Łatwo stwierdzić, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla x = 1,2 i /(1,2) = 4,8. Natomiast wartość największą funkcja / osiąga w punkcie x = 0 i /(0) = 12.

7.32. a) Wskazówka. Zauważyć, że wielomian jest trójmianem kwadratowym względem y. Przedstawić go względem y w postaci kanonicznej. Zauważyć, że wyraz wolny jest trójmianem kwadratowym względem x i przedstawić go również w postaci kanonicznej.

Dane wyrażenie przyjmuje najmniejszą wartość dla x = — 1, y = - 1.

b) Wskazówka. Postąpić podobnie jak w a).

Dane wyrażenie przyjmuje najmniejszą wartość dla

2 1

7.33.    Ponieważ |x —1| ^ 0 i \y — 1| ^ 0 i |x — 1| + |y — 1| < 1, więc istnieją liczby a, be{0; 1) takie, że a + b = 1

i |x — 1| < a i \y — 1| < b.

Wobec tego |x — 1| + \y — 1| < a + b.

Stąd

|x² + y² - 2| = |(x² - 1 ) + (y²- 1)| < |x² - 1| + \y² - 1| =

= |x - 1||x + 1| + |y - 1||y + 1| < a|x + 1| + b\y + 1| =

= a|(x- 1) + 2| + b\(y- 1) -ł- 2| ^a\x — 1 \ + 2a + b\y-l\ + + 2b < a² + b² + 2 {a + b) = a² + b² + 2.

Zatem |x² + y² — 2\ < a² + b² +2.

Ale a + b = 1, więc a² + 2ab + b² = 1. Ponieważ a > 0 i b > 0, więc 2ab > 0. Stąd a² + b² < 1 w konsekwencji a² + b² + 2 <3. W takim razie |x² + y² — 2| < 3.

7.34.    Wskazówka. Rozumowanie podobne jak w zad. 7.33.

7.35.    Wskazówka. Z własności funkcji/ wynika, że

dla każdego xel?\{0}.

Traktując 1) jako układ równań względem zmiennych f(x) i/(-) otrzymujemy

/(*) =

i

dla x * 0 5x^z

0 dla x = 0.

Zbiorem wartości /jest: I — oo,

0}.

193

13 — Zbiór