DSCF6537

30

30

(3.9)

WmM

Rys. 3.1. Gęstość rozkładu normalnego NO*,*¹) ' dystrybuanta rozkładu

Rys. 3.2. Rozkład normalny dla różnych wartości średniej    ₅ i odchylenia standar

dowego a_l<a₁< o$

_»

Rozkład (3.7) w postaci /(u) = N(0, \)--y=e ⁵ nazywany jest stan-

y/2lt

dardowym rozkładem normalnym. Zmienna u jest bezwymiarową standaryzowaną formą zmiennej losowej X o średniej | i wariancji a² \u = ——-■ I

tr

Wartości funkcji rozkładu F(u) = | f(u)du można odczytać przy pomocy

" CO

tab. 2: F(uJ = 1 - gj lub też np. korzystając z funkcji normsdist w arkuszu kalkulacyjnym Excel: F(uj = normsdist(uj.

3.2.2. Przykład (interpretacja parametrów /( i a)

Obliczmy wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie normalnym:

® X

£[*] = J —= e ²«* dx = fi. Po podstawieniu u = (x — n)/a; du = dx/a, -oo oy27t    ,

mamy: £[x]=-j= § (ou + n)e ²du = 0 H—7= § e*du = ^ (pierwszy czyn-\J2n -00    yJ2n -«

nik znika, jako całka z funkcji nieparzystej obliczana w symetrycznie umieszczonych granicach).

Wiele spotykanych w badaniach doświadczalnych wielkości (w szczególności dotyczy to błędów pomiarowych) ma rozkłady empiryczne dobrze odtwarzane przez rozkład normalny, co wiąże się z tzw. centralnym twierdzeniem granicznym, mówiącym, że zmienna losowa utworzona przez sumę wielu niezależnych składników o dowolnych rozkładach (zaś błędy pomiarowe można traktować jako zmienne należące do tej kategorii) ma rozkład normalny.

3.2.3. Przykład (rozkład średniej z próbki)

Opierając się na n niezależnych pomiarach zmiennej losowej X można

1 -

obliczyć wartość średnią z próbki:    gdzie x, oznacza rezultat

”i=i

i-tego pomiaru (i = 1, 2, ..., n). Przypuśćmy, że zmienna X ma rozkład normalny o znanej wartości średniej m i znanej wariancji a_x: XeN(ji_x, a%). Wartość średnia próbki podlega wówczas rozkładowi normalnemu N(h„ <xf), gdzie Hi = h_x: <*\ — S|/»- Zmienna standardowa ma postać:

_u _ x-Hi __ (x - H_x)Jn

n m

Poszukiwanie przedziału ufności, czyli przedziału, do którego wartość średnia próbki trafia z zadanym prawdopodobieństwem 1 — a (a jest nazywane poziomem istotności) sprowadza się, w przypadku jednostronnego ograniczenia, do znalezienia x_a spełniającego warunek:

Prob(x>x_x) = a,

równoważny warunkowi Prob(u>u_a) = a dla zmiennej standardowej. Wykorzystując znajomość parametrów rozkładu można ostatnie wyrażenie zapisać w postaci:

+ /**) = «•

Prob(x > xj = Prob(x >

V"