DSCF6576

108

y(x, f) = A(x) sin cot

(10)

gdzie A(x) oznacza amplitudę drgań, natomiast co = 2n/T jest częstością kołową, a T - okresem drgań. Jak wynika z (10) założyliśmy wstępnie, że amplituda zależy od współrzędnej x elementu struny. Różniczkując dwukrotnie (10) odpowiednio względem t i x otrzymamy po podstawieniu wyników do równania (7) nowe równanie różniczkowe:

01)

którego ogólnym rozwiązaniem jest funkcja postaci

A(x) = Cj cos

U

I

(12)

gdzie Cj i C₂ są stałymi wyznaczanymi z warunków brzegowych.

Ponieważ struna umocowana jest z obu stron do sztywnych elementów, to amplituda drgań musi przyjmować wartości zerowe dla początku struny

x = 0 i jej końca x = l. W takim razie A(x = 0) = C_t cos

I

co pociąga za sobą C_t = 0, a po uwzględnieniu

warunku A(x = 0= 0 także zależność C₂ sin do wzoru:

co-11 = 0, co prowadzi

n = l, 2, 3, ...

(13)

Ze wzoru tego wynika, iż zamocowana obustronnie w sposób sztywny idealna struna o długości /, napięta w stanie równowagi siłą F₀ może wykonywać drgania poprzeczne o postaci niezależnej od czasu o częstościach kołowych spełniających równość

n = 1, 2, ...

i amplitudzie będącej funkcją współrzędnej x, określonej wzorem

i(fl = c_n sin

n = 1, 2,

05)

M c, jest Pewną stałą.

Xaki rodzaj drgań nazywamy falami stojącymi lub drganiami normalnymi Punkty, w których amplituda drgań jest stale równa zeru nazywamy ,plami, zaś punkty, w których amplituda drgań przyjmuje kolejno wartości jjisymalne i minimalne - strzałkami. Każdy punkt struny oscyluje z taką 0 częstością / = lo/ln i z taką samą fazą. Częstości drgań normalnych iłorzą ciąg tzw. harmonicznych. Harmoniczną posiadającą najniższą częstość • o^dłuższą falę nazywamy podstawową. W omawianym przypadku częstość .jugość fali podstawowej harmonicznej określają wzory:

u'1	1	m
2%	"21	1 pi
It	= 112

(16)

(17)

I*iązek między częstością drgań, a ich długością fali nazywamy związkiem dyspersyjnym:

I 19 I

gdae fc = 2njX jest tzw. kątową liczbą falową. O falach, które spełniają związek dyspersyjny typu co/k = const. mówimy, że nie ulegają dyspersji.

|i Fale stojące - ujęcie fenomenologiczne

Przypuśćmy, iż na początek struny umocowanej jednostronnie działamy |j powodującą powstawanie fali harmonicznej, biegnącej w kierunku swobodnego końca struny. Biegnąca w strunie fala dostarcza w sposób cągjy energię do elementu stanowiącego koniec struny. W elemencie tym magią nie może gromadzić się w sposób nieograniczony - ilość energii dopływającej musi być równa energii odpływającej. Odpływ energii jest możliwy dzięki powstawaniu fal odbitych, biegnących w kierunku przeciwnym do lal wytwarzanych przez pierwotne źródło fal. Długość, częstość i amplituda M są w tym przypadku takie same, jak dla fali padającej - mówimy, iż lala odbita nie zmienia swojej fazy. Nieco inaczej odbija się fala biegnąca w strunie zamocowanej sztywno z obu końców - amplituda fali odbitej