DSC
61

4.3. Modele o masach skupionych 97

Jej elementami są funkcje opisujące ruchy mas związanych z kolejnymi stopniami swobody układu. W przypadku ogólnym każda z funkcji Q,{t) dla i = 1,2,... ,n ma inną postać, co sprawia, że ogarnięcie całej różnorodności zachowali układu w czasie i przestrzeni (zwłaszcza gdy 1 jest duże) jest bardzo trudne.

Z tego też powodu zajmiemy się najpierw takim prostym przypadkiem, kiedy wszystkie masy poruszają się w czasie dokładnie tak samo. Oznacza to, że

Q(t) = [A_uA₂, ..., A_n]^T /(£) = AH    (4.4)

Macierz A = [Ai,A₂, ■. ., A_n\ jest macierzą liczbową reprezentującą konfigurację przestrzenną układu (czyli jego tzw. postać drgań) w takiej chwili | = fi, że /(fi) = 1. Funkcja f(t) w zapisie (4.4) odgrywa rolę mnożnika skalarnego powodującego tylko przeskakiwanie całej macierzy A. Przeskakiwanie to polega na tym, że wszystkie elementy odpowiedzi, mające zgodnie z (4.4) postać

Qi(t) = Aif(t) i = 1,2,... ,n,

zmieniają się w czasie proporcjonalnie (są w ustalonej chwili t = t\ mnożone przez ten sam mnożnik liczbowy    Przeskakiwanie nie zmienia

więc postaci układu drgającego, określonej macierzą A, co oznacza, że kształt osi tego układu pozostaje niezmieniony (rys. 4.25) podczas drgań układu opisanych wzorem (4.4). Sformułowane powyżej pytania 1 i 2 możemy teraz uściślić:

1)    czy odpowiedź układu drgającego może zmieniać się w czasie w sposób harmoniczny

Q(t) = Asin(w£ + tp) ?

2)    jakie wartości mają wówczas wszystkie elementy .4,- macierzy A (tzn. jak jest określona postać układu wykonującego drgania harmoniczne) 1

Udzielenie odpowiedzi na tak sformułowane pytania wymaga rozwiązania tzw. algebraicznego problemu własnego dynamiki budowli. Jak zobaczymy, rozwiązanie tego problemu stanowi klucz do utworzenia ważnego algorytmu dekompozycji modalnej przy obliczaniu odpowiedzi Q(£). Algorytm ten nazywany jest analizą modalną układów drgających.

1 Ml I