freakpp011

20

Na podstawie równania bilansu energetycznego można uzasadnić ogólną postać równania przewodnictwa Fouriera-Kirchhoffa, które w układzie współrzędnych prostokątnych ma postać:

20

gdzie:

DT

3t

DT

•^pp _dT

|-fx—

3xv 3x

3T

M’dy

„,.5T 3zl 3z

+ q,

(1.9)

pochodna substancjalna, którą można określić na podstawie

twierdzenia o pochodnej zupełnej funkcji w wielu zmiennych w podany sposób:

DI_ai₊3ldx aTdy₊ aTdz

dt 3t 3x dt 3y dt 3z dt

lub

DT

dt

3T

= —+ w

3t

dT

^X3x^+Wy

31

3y

+ w

3T ^z 3z

(1.11)

q_v - wydajność wewnętrznych źródeł ciepła, która jest zdefiniowana w następujący sposób:

q_v = lim

AV-»(\AV

dQ

dV

(1.12)

W przypadku ciał stałych, których cząsteczki są nieruchome, w_x = w_y = = w_z = 0, oraz przyjęcia, że współczynnik przewodzenia jest wielkością stałą (A, = idem), równanie przewodnictwa (1.9) przyjmie postać:

^I = aV²T + -^-    (1.13)

3t    c_pp

gdzie: a =--współczynnik wyrównywania temperatury (dyfuzyjność cie-

c_pP

plna),

V² - operator różniczkowy, nazywany laplasjanem lub operatorem Łapiące^.

W zależności od rodzaju rozwiązywanego zagadnienia równanie przewodnictwa można stosować do różnych układów współrzędnych (rys. 1.6):

a)    prostokątnych x, y, z;

b)    walcowych r, cp, z;

c)    kulistych (sferycznych) r, cp, \\f.

Rys. 1.6. Układ współrzędnych: a) prostokątnych, b) cylindrycznych, c) sferycznych

W trzech podstawowych układach współrzędnych laplasjan (operator różniczkowy) z temperatury V²T można wyrazić następująco: a) układ współrzędnych prostokątnych

V²T =

3²T    8²T    3²T

—T --T --T

dx² dy² dz²

(1.14)

w przestrzeni trójwymiarowej T(t,x,y,z),

V²T =

a²T a²T dx^{2 +} dy²

(1.15)

w przestrzeni dwuwymiarowej T(t,x,y),

V²T

a²T

dx²

(1-16)

w przestrzeni jednowymiarowej T(t,x);