ga8

Rozdział 4

Płaszczyznę k przechodzącą przez punkt P(pc₀,yo,zo) i prostopadłą do niezerowego wektora 7? = [A,B,C] możemy opisać wzorem:

A(x — xo) + B(y — ^o) + C(z — z o) = 0 gdzie A² +B² + C² > 0.

Dla danych dwóch niezerowych i nierównoległych do siebie wektorów v? = [a\,b\,c\] oraz v? = [a2,b2,c2], równoległych do płaszczyzny, na której leży punkt P(x₀,yo,zo) postać parametryczna płaszczyzny ma postać:

x = x₀ + ci\t+ a₂k

< y = y₀ + b₁t+b₂k dla t,k e 1K.

Z

z₀ + c\t+ c₂k

8. Napisać równanie ogólne lub parametryczne płaszczyzny: a) Przechodzącej przez punkt P{-2,1,1) i prostopadłej do wektora 7? = [-2,3,1]; -2(x + 2) + 3(y- 1) + 1 (z- 1) = 0 -2x - 4 + 3^-3+z-l = 0

-2x + 3y + z-8 = 0

c) przechodzącej przez punkt P(-2,1,2) i równoległej do wektorów 7? = [-1,3,1] oraz v = [2,-1,0];

x = x₀ + a\t + a₂k

y = yo + b₁t+b₂k d/at,ke\&

z = z₀ + c\t + c₂k

za x₀,^o i z₀ podstawiamy współrzędne punktu

(-2,1,2)

x = -2 + a\t+ a₂k y=l + bit+b₂k dla t,k e \& z = 2 + Cit+ c₂k

za Q\,b\,c\ współrzędne wektora 7?, a za a₂,b₂,c₂ współrzędne wektora 7

x = -2 + -11+ 2k y=\ + 3t + -\k dla t,k e 1K. z = 2+1?

f) przechodzącej przez punkt P(-2,0,3) oraz równoległej do płaszczyzny

x = -1 + 2?- k

y = 2 - t + 2k

z = —3 + 2t+3k

Skoro płaszczyzna ma być równoległa, to współrzędne wektorów nam się nie zmienią. Wystarczy do równania parametrycznego płaszczyzny podstawić nowe współrzędne punktu.

x = -2 + 2t- k

y = -t+2k

z = 3 + 2t+ 3k

r

r

r

r

r