rozniczki02

- Scałkować następujące równanie i wydzielić krzywą całkową przechodzącą przez punkt M(xo,yo) roz-trzygając kwestię istnienia i jednoznaczności tej krzywej całkowej.

146    (1 - x)dy - ydx = 0 M(0,1)

147    dx — y/l — x²dy = 0 M( 1,

148    Xy/l - y²dx + yVl — x²dy = 0, M( 1,0), M(0,0)

149    xdy - ydx = 0 M{ 1,0), M{0,1) M(0,0).

B. Równania jednorodne i sprowadzalne do jednorodnego.

1.    Wykazać, że podstawienie x — x + a, y = y + 0 sprowadza równanie y' = / ( _a?x+bly+ci) równamia

jednorodnego y' = /    jeśli oh\ —a\b ^ 0 i (a, 0) jest punktem wspólnym prostych ax+by+c = 0

i a\x + biy + Ci = 0.

2.    Równanie postaci x' = t^k~¹f nazywamy uogólnionym równaniem jednorodnym. Wykazać, że podstawienie z = fi sprowadza to równanie do równania o rozdzielonych zmiennych.

3.    Dla równania postaci xy^> = 3y — 2x — 2\Jxy — x² znaleźć rozwiązanie ogólne, rozwiązania osobliwe i

szczególne przechodzące przez punkty (1,2), (1,1), (0,R)_-

101    (z + 2 y)dx — xdy = 0

102    (x — y)dx + (x 4- y)dy = 0

103    (y² — 2xy)dx + x¹dy = 0

104    2x³y' = y{2x² — y²)

105    y² + x²y' = xyy'

106    (x² + y²)y' = 2xy

107    xy' - y = xtg%

108    xy' = y — xe%

109    xy' -y= (x + y)ln(2^)

110    xy' = ln cos ln |

113    (2x — 4y + 6)dx + (x + y — 3)dy = 0

114    (2x + y + 1 )dx — 4(x + 2y — 3)dy = 0

115    {x - y - 1) + (y - x 4- 2)y' = 0

2