z8

Rozdział 1

Wzór de Moivre’a:

zⁿ = [|z|(cos<p + rsiiKp)]" = |z|”(cos(«<p) + isin(n(p))

8. Korzystając ze wzoru de Moivre’a udowodnić tożsamości:

a) sin3x = sinx(3 - 4 sin²*)

(cosx + żsinx)³ = cos3x + żsin3x

Rozpiszmy lewą stronę równania:

(cosx + żsinx)³ =

cos³.r + 3 cos²xżsinx + 3 cosxż² sin²x + ż³ sinx = cos³.r + 3 cos²xżsinx- 3 cosxsin²x- żsin³x = cosx(cos²x - 3 sin²x) + sinx(-sin²x + 3 cos²x)? Porównujemy części urojone obu stron sinx(-sin²x+ 3 cos²x)/' = i sin 3x sin3x = sinx(-sin² + 3(1 - sin²x))

[sin²x + cos²x = 1

cos²x = 1 - sin²x]

sin3x = sinx(-sin² + 3-3 sin²x)

sin3x = sinx(3 - 4sin²x)

d) sin5x = 16sin⁵x- 20sin³x+ 5sinx

Przykład rozwiązujemy analogicznie

do powyższego.

(cosx+ żsinx)⁵ = cos5x+ i sin 5x (cosx+ żsinx)⁵ =

cos⁵x+ 5 cos⁴xisinx + 10cos³xż²sin²x +

+10 cos²xż³ sin³x + 5 cosxi⁴ sin⁴x + i⁵ sin⁵x = cos⁵x+ 5 cos⁴xisinx - 10cos³xsin²x +

-10cos²xżsin³x + 5cosxsin⁴x+ żsin⁵x =

(cos⁵x- 10cos³xsin²x+ 5cosxsin⁴x) +

(5cos⁴xsinx- 10cos²xsin³x+ sin⁵x)z

żsin5x = (5cos⁴xsinx- 10cos²xsin³x+ sin⁵x)ż

sin5x = 5cos⁴xsinx- 10cos²xsin³x+ sin⁵x

sin5x = 5(1 - sin²x)²sinx- 10(1 - sin²x)sin³x+ sin⁵x

sin 5x = 5 sinx - 10 sin³x + 5 sin⁵x - 10 sin³x +

+10sin⁵x+ sin⁵x

sin 5x = 16 sin⁵x - 20 sin³x + 5 sinx