6 6 Matematyka s6 WSB 2009 2010

MATEMATYKA
ROZDZIAA VI
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
I. Wprowadzenie
Dotychczas rozpatrywaliśmy funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej tj. takie
funkcje, których dziedzina i zbiór wartości były podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.
W praktyce funkcje jednej zmiennej nie zawsze wystarczają do opisu wielu zjawisk w
przyrodzie, ekonomii , fizyce itp. Zjawiska te dają się opisać tylko za pomocą większej
liczby zmiennych. Zdarza się często, że zmiennych niezależnych jest kilka i dla obliczenia
wartości funkcji musimy ustalić wartości przyjmowane przez wszystkie zmienne łącznie
W naszych rozważaniach ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Większość, bowiem
pojęć zdefiniowanych dla funkcji dwóch zmiennych przenosi się w sposób analogiczny dla
funkcji o większej liczbie zmiennych.
Przykład 1.
Dany jest prostokąt o długościach boków x, y , x > 0, y > 0. Wówczas jego pole
P = xy, a więc jest funkcją dwóch zmiennych x i y .
Przykład 2.
Funkcja produkcji Cobba Douglasa jest to funkcja postaci:
ą
Y = Y K, L = AK L�, A,ą,� > 0 ,
( )
gdzie: Y - wielkość produkcji, K - wartość kapitału, L - zatrudnienie (kapitał ludzki),
A - stała dodatnia.
Jest więc funkcją dwóch zmiennych K oraz L .
Parametr ą jest tzw. elastycznością produkcji względem kapitału, a parametr �
elastycznością produkcji względem zatrudnienia.
Do tego przykładu powrócimy w dalszych częściach wykładu.
Przykład 3.
Napięcie i prądu w oporniku o oporności R jest według prawa Ohma funkcją napięcia u ,
przyłożonego do zacisków tego opornika, oraz oporności R tj.
u
i = f u, R = .
( )
R
202
II. Zbiory na płaszczyznie
Definicja 1. (płaszczyzna)
Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowa-
nych x, y , gdzie x, y " R . Przestrzeń tę oznaczamy przez R2 ;
( )
def
R2 = x, y : x, y" R .
( )
{ }
Elementy x, y tego zbioru nazywamy punktami płaszczyzny i oznaczamy: P = x, y .
( ) ( )
Liczby x, y nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.
Rys.1 Płaszczyzna
Definicja 2. (odległość punktów)
Odległość punktów P1 , P2 płaszczyzny nazywamy liczbę P1P2 określoną wzorem:
def
P1P2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 ,
gdzie P1 = x1, y1 , P2 = x2, y2 .
( ) ( )
Przykład 4.
Obliczyć odległość punktów płaszczyzny : P1 = 1,2 , P2 = 4,6 .
( ) ( )
Rozwiązanie: P1P2 = (4 -1)2 + (6 - 2)2 = 9 +16 = 5 .
Podstawowe pojęcia topologiczne płaszczyzny
Definicja 3. (otoczenie punktu)
Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyznie nazywamy zbiór:
def
O P0, r = P " R2 : P0P < r .
( )
{ }
Uwaga.
Otoczeniem punktu na płaszczyznie jest koło otwarte o środku w tym punkcie i promieniu
długości r .
203
Rys.2 Otoczenie o promieniu r punktu P0 na płaszczyznie
Definicja 4. (sąsiedztwo punktu)
Sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyznie nazywamy zbiór:
def
S P0, r = P " R2 : 0 < P0P < r = O P0, r \ P0 .
( ) ( ) { }
{ }
Uwaga.
Sąsiedztwem punktu na płaszczyznie jest koło otwarte bez środka.
Jeżeli promień sąsiedztwa nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiór S P0, r będziemy
( )
oznaczali krótko S P0 .
( )
Rys.3 Sąsiedztwo o promieniu r punktu P0 na płaszczyznie
Definicja 5. (zbiór ograniczony i nieograniczony)
Zbiór A jest ograniczony, jeżeli jest zawarty w pewnym otoczeniu pewnego punktu, tzn.
istnieje taki punkt P0 oraz liczba dodatnia r , dla których zachodzi warunek:
A �" O P0, r .
( )
W przeciwnym przypadku mówimy, że zbiór A jest nieograniczony.
Rys.4 Zbiór A jest ograniczony . Rys.5 Zbiór A jest nieograniczony.
Definicja 6. ( punkt wewnętrzny zbioru, wnętrze zbioru)
Punkt P jest punktem wewnętrznym zbioru A , jeżeli istnieje otoczenie tego punktu
zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba r > 0 , dla której zachodzi warunek;
204
O P0, r �" A.
( )
Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych.
Rys.6 P jest punktem wewnętnym zbioru A . Rys.7 Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A .
Definicja 7. (zbiór otwarty)
Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym.
Rys.8 Zbiór A jest otwarty na płaszczyznie
Definicja 8. (punkt brzegowy zbioru, brzeg zbioru)
Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A , jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu istnieją
punkty należące i punkty nie należące do tego zbioru, tzn. dla każdej liczby r > 0 zachodzi
warunek:
2
O P, r )" A `" " oraz O P, r )" A `" " ,
( ) ( )
2
gdzie A jest dopełnieniem zbioru A .
Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Rys.9 Punkt brzegowy zbioru Rys.10 Brzeg zbioru
Definicja 9. (punkt skupienia zbioru)
205
P jest punktem skupienia zbioru A , jeżeli w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieją
punkty należące do zbioru A tzn. dla każdej liczby r > 0 zachodzi warunek:
S P, r )" A `" " .
( )
Rys.11 P jest punktem skupienia zbioru A. Rys. 12 P nie jest punktem
skupienia zbioru A.
Uwaga.
Punkty wewnętrzne i brzegowe obszaru są jego punktami skupienia.
Jeżeli punkt P " A i nie jest punktem skupienia zbioru A to nazywamy go punktem
izolowanym.
Definicja 10. (zbiór domknięty)
Zbiór jest domknięty, jeżeli zawiera swój brzeg.
Uwaga.
1. Dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym i na odwrót: dopełnienie zbioru
domkniętego jest zbiorem otwartym.
2. Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
3. Iloczyn dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym lub pustym.
Każdy punkt P płaszczyzny może mieć względem zbioru A trojakie położenie: jest
punktem
a) wewnętrznym zbioru, gdy należy do A wraz z pewnym jego otoczeniem,
b) zewnętrznym, gdy wraz z pewnym otoczeniem nie należy do A ,
c) brzegowym, gdy nie jest ani punktem wewnętrznym, ani zewnętrznym.
Definicja 11. (obszar, obszar domknięty)
Niepusty podzbiór płaszczyzny jest obszarem, jeżeli:
1. jest otwarty,
2. każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
206
Rys. 13 Zbiór A jest obszarem domkniętym Rys.14 Zbiór B nie jest obszarem
III. Funkcje dwóch zmiennych
Definicja 12. (funkcja dwóch zmiennych)
Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze A �" R2 o wartościach w R nazywamy
przyporządkowanie każdemu punktowi x, y ze zbioru A dokładnie jednej liczby
( )
rzeczywistej z " R .
Funkcję taką oznaczamy następująco:
f : A R lub z = f x, y , gdzie x, y " A .
( ) ( )
Wartość funkcji f w punkcie P = x, y oznaczamy przez f x, y .
( ) ( )
Uwaga.
Funkcję dwóch zmiennych oznacza się również symbolem z = f P , P " A .
( )
Rys.15 Ilustracja do definicji funkcji dwóch zmiennych
Przykład 5.
4x + y2
a) f x, y = x2 + 3xy + 4y2 - 5 ; b) g x, y = ; c) h x, y = 4 - x2 - y2 .
( ) ( ) ( )
x2 - y2
Definicja 13. (dziedzina naturalna)
Niech funkcja f będzie określona wzorem z = f x, y = f P . Dziedziną naturalną
( ) ( )
funkcji f nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, dla których napisany wzór
ma sens liczbowy i oznaczamy go symbolem Df .
Przykład 6.
Dla funkcji określonych w przykładzie 3 wyznaczyć ich dziedziny naturalne.
Rozwiązanie:
a) Funkcja f jako wielomian dwóch zmiennych jest określona dla wszystkich punktów
płaszczyzny. Zatem Df = R2 .
b) Funkcja g jest funkcją wymierną i jest określona dla wszystkich punktów płaszczyzny,
dla których x2 - y2 `" 0 . Warunek ten jest równoważny warunkowi x `" y . Zatem
Dg = x, y " R2 : x `" y .
( )
{ }
207
c) Wyrażenie 4 - x2 - y2 ma sens liczbowy dla tych punktów, których współrzędne
spełniają warunek : 4 - x2 - y2 e" 0 . Jest on równoważny nierówności x2 + y2 d" 4 , która
przedstawia koło domknięte o środku 0,0 i promieniu długości 2 . Tak więc
( )
Dh = x, y " R2 : x2 + y2 d" 4
( )
{ }
Rys.16 Dziedzina funkcji h x, y = 4 - x2 - y2
( )
Zadanie 1.
Dla podanych funkcji wyznaczyć ich dziedziny naturalne.
4x + y2 2x + 3y
a) f x, y = x3 + 3x2 y + 4xy2 - 5xy + 7 ; b) g x, y = ; c) h x, y = .
( ) ( ) ( )
9x2 - y2
x2 + y2 -1
Odpowiedzi:
a) Df = R2 . b) Dg = x, y " R2 :3 x `" y . c) Dh = x, y " R2 : x2 + y2 > 1 ,
( ) ( )
{ } { }
jest to zewnętrze (dopełnienie) koła domkniętego o środku w punkcie 0,0 i promieniu
( )
długości 1.
Definicja 14. (przestrzeń trójwymiarowa)
Przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich trójek
uporządkowanych x, y, z , gdzie x, y, z " R . Przestrzeń tą oznaczamy przez R3 ;
( )
def
R3 = x, y, z : x, y, z" R .
( )
{ }
Elementy x, y, z tego zbioru nazywamy punktami przestrzeni i oznaczamy: Q = x, y, z .
( ) ( )
Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi tego punktu.
208
Rys.17 Przestrzeń
Definicja 15. (wykres i poziomica funkcji dwu zmiennych)
Wykresem funkcji f dwu zmiennych nazywamy zbiór:
x, y, z : (x, y) " Df '" z = f x, y .
( ) ( )
{ }
Uwaga.
Wykresem funkcji f jest pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej rozpięta nad
zbiorem Df �" R2 , składająca się z punktów Q x, y, z " R3 , gdzie x, y należy do
( ) ( )
dziedziny Df , a z jest wartością tej funkcji w punkcie x, y tj. z = f x, y .
( ) ( )
Rys.18 Wykres funkcji dwóch zmiennych Rys. 19 Poziomica wykresu funkcji f
określonych na zbiorze A. odpowiadająca poziomowi h.
Poziomicą (warstwicą) wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h " R nazywamy
zbiór: (x, y) " Df : f x, y = h .
( )
{ }
Uwaga.
Poziomica jest więc rzutem prostokątnym krzywej będącej przecięciem płaszczyzny
równoległej do płaszczyzny X0Y z = h z powierzchnią będącą wykresem funkcji f .
( )
Przykład 7.
Znalezć poziomice wykresów podanych funkcji i narysować kilka z nich na płaszczyznie:
1
a) f x, y = 2 - x2 - y2 ; b) f x, y = .
( ) ( )
1+ x2 + y2
Rozwiązanie:
a) Poziomicami tej funkcji na poziomie c są zbiory x, y " R2 : 2 - x2 + y2 = c , gdzie
( )
{ ( ) }
c d" 2 . Są to okręgi o środku w początku układu i promieniu długości r = 2 - c , c d" 2 .
209
Na rysunku widoczne są poziomice odpowiadające poziomom c = 2, c = 0 , c = -2
oraz wykres funkcji.
ńł 1 �ł
b) Poziomicami tej funkcji na poziomie c są zbiory x, y " R2 : = c , gdzie
( )
�ł żł
1+ x2 + y2 �ł
ół
1
c > 0. Po przekształceniu otrzymujemy równanie: x2 + y2 = -1. Są to okręgi o środku w
c
1
początku układu i promieniu długości r = -1 , gdzie 0 < c d" 1 .
c
1 1
Na rysunku widoczne są poziomice odpowiadające poziomom c = 1, c = , c = oraz
2 5
fragmenty wykresu tej funkcji dla x e" 0, y e" 0.
Zadanie 2.
Znalezć poziomice wykresów podanych funkcji i narysować kilka z nich na płaszczyznie:
1
a) f x, y = x2 + y2 -1 ; b) f x, y = .
( ) ( )
2 - x + y
Odpowiedzi.
a) Poziomicami tej funkcji na poziomie c są zbiory x, y " R2 : x2 + y2 -1 = c .
( )
{ }
Są to okręgi o środku w początku układu i promieniu długości r = 1+ c , c e" -1.
Zaznaczyć na rysunku poziomice odpowiadające np. poziomom c = -1, c = 0 , c = 3.
b) Dziedziną jest zbiór Df = x, y " R2 : 2 - x + y `" 0 .
( )
{ }
ńł 1 �ł
Poziomicami tej funkcji na poziomie c są zbiory x, y " R2 : = c , gdzie
( )
�ł żł
2 - x + y
ół �ł
210
1
c `" 0. Po przekształceniu otrzymujemy równanie: y = x + - 2 . Są to proste na
c
1 1
płaszczyznie. Narysować kilka z nich np. dla c = -1, c = , c = .
2 3
Wykresy ważniejszych funkcji dwu zmiennych.
1. Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest płaszczyzna, o wektorze n = -B,1
(-A,
)
prostopadłym do tej płaszczyzny, która przechodzi przez punkt 0,0,C .
( )
2. Wykresem funkcji z = a x2 + y2 jest paraboloida obrotowa, tj. powierzchnia powstała z
( )
obroty paraboli z = ax2 wokół osi 0z.
3. Wykresem funkcji z = R2 - x2 + y2 jest górna półsfera o środku w początku układu
( )
współrzędnych i promieniu długości R .
4. Wykresem funkcji z = k x2 + y2 jest stożek, tj. powierzchnia powastała z obrotu
półprostej z = kx, y = 0 dla x e" 0 wokół osi 0z.
211
IV. Granica funkcji
Definicja 16. (ciąg punktów na płaszczyznie)
Ciągiem punktów na płaszczyznie nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie każdej
liczbie naturalnej punktu płaszczyzny R2 . n - ty wyraz tego ciągu oznaczamy przez
Pn = xn , yn , a taki ciąg symbolem Pn lub (xn, yn ) .
( ) ( ) ( )
Przykład 8.
n
1 2n n 1 +
a) Pn = , ; b) Pn = , ; c) Pn = (nn1)n , n ; d) Pn = 2n,3n .
( )
( )
( ) ( )
n n+1 n+1
n2
Definicja 16. (granica właściwa ciągu punktów)
Ciąg Pn = (xn, yn) punktów płaszczyzny jest zbieżny do punktu P0 = x0, y0 , co
( ) ( ) ( )
zapisujemy lim Pn = P0 lub lim xn, yn = x0, y0 , wtedy i tylko wtedy, gdy
( ) ( )
n" n"
lim xn = x0 oraz lim yn = y0 .
n" n"
Rys.20 Ilustracja do definicji granicy właściwej ciągu punktów na płaszczyznie
Uwaga.
Inaczej mówiąc ciąg Pn jest zbieżny do punktu P0 , jeżeli w dowolnym otoczeniu tego
( )
punktu znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.
Tak zdefiniowaną zbieżność nazywamy zbieżnością według współrzędnych.
Przykład 9.
Zbadać, czy podane ciągi punktów z przykładu 8 są zbieżne. Dla ciągów zbieżnych obliczyć
ich granice .
Rozwiązanie
1 2n 1
1 2n
a) Pn = , . Mamy : xn = , yn = oraz lim xn = lim = 0 ,
( )
n n+1
n" n"
n n +1 n
2n
lim yn = lim = 2 . Więc lim Pn = 0,2 .
( )
n" n" n"
n +1
n 1 n
n 1
b) Pn = , . Tutaj xn = , yn = oraz lim xn = lim = 1,
( )
n+1
n2
n" n"
n +1 n2 n +1
1
lim yn = lim = 0 . Zatem lim Pn = 1,0 .
( )
n" n" n"
n2
212
n n
n +1 1
�ł �ł �ł1+ �ł
n n
+
c) Pn = (nn1)n , n . Mamy : lim xn = lim = lim = e , lim yn = lim n = 1.
( )
�ł �ł �ł �ł
n" n" n" n" n"
n n
�ł łł �ł łł
Zatem lim Pn = e,1 .
( )
n"
d) Pn = 2n,3n . Ponieważ lim xn = lim 2n = " , lim yn = lim 3n = " , więc ciąg punktów jest
( )
n" n" n" n"
rozbieżny.
Zadanie 3.
Obliczyć granice podanych ciągów punktów:
n n
n n n
1 3n2 1 3
a) Pn = , ; b) Pn = , 2 ; c) Pn = (n+2)n , ; d) Pn = , .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (5 )
n+1 n 2 2
n n2 +1
Odpowiedzi.
a) lim Pn = 0,3 ; b) lim Pn = 0,1 ; c) lim Pn = e2,0 ; d) ciąg rozbieżny.
( ) ( )
( )
n" n" n"
Definicja 17. (granica właściwa funkcji w punkcie)
Niech P0 = x0, y0 " R2 oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie
( )
S x0, y0 punktu P0 . Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie P0 = x0, y0 ,
( ) ( )
co zapisujemy
lim f x, y = g lub lim f Pn = g ,
( ) ( )
xn , yn x0 , y0
( ) ( ) Pn P0
wtedy i tylko wtedy, gdy
( ) ( )łł
"( �ł lim(xn, yn ) = (x0, y0 ) �! lim f (xn, yn ) = g śł ,
�ł
n"
�ł �ł
xn , yn "S x0 , y0 n"
( ) )
lub
�ł
lim Pn = P0 �! lim f Pn = g .
( ) ( )
( ) ( )łł
"
�ł śł
n"
�ł �ł
Pn"S P0 n"
( )
Rys.21 Ilustracja do definicji Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie
Uwaga.
Granicę funkcji f w punkcie x0, y0 oznaczamy także przez lim f x, y . Można również
( ) ( )
xx0
y y0
pisać f x, y g , gdy x, y x0, y0 .
( ) ( ) ( )
Podane definicja nazywana jest definicją Heinego, ( E.H. Heine (1821-1881) matematyk
niemiecki) i nazywana jest granicą podwójną.
213
Przykład 10.
1. Korzystając z definicji granicy uzasadnić podane równości:
2x - y
a) lim1,2 = 0 ; b) lim x2 + y2 = 5 .
x, y x, y )
( ) ( ) ( ) (-3,4
x2 + y2
Rozwiązanie:
a) Niech xn, yn będzie takim ciągiem punktów, że lim xn = 1 i lim yn = 2 .
( )
n" n"
2xn - yn 2�"1- 2
Wówczas lim = = 0. Korzystaliśmy tutaj z twierdzeń o ciągach
2 2
xn , yn 1,2
( ) ( )
xn + yn 12 + 22
2x - y
zbieżnych. Oznacza to, że lim = 0 , ( na podstawie definicji Heinego granicy
x, y 1,2
( ) ( )
x2 + y2
funkcji dwóch zmiennych).
b) Niech xn, yn będzie takim ciągiem punktów, że lim xn = -3 i lim yn = 4 .
( )
n" n"
2
2 2
Wówczas lim xn + yn =
(-3 + 42 = 25 = 5,
)
xn , yn )
( ) (-3,4
a to oznacza, że lim x2 + y2 = 5 , ( na podstawie definicji Heinego granicy funkcji
x, y )
( ) (-3,4
dwóch zmiennych).
2. Zbadać, czy istnieją granice:
x 2xy
a) lim ; b) lim .
x, y 0,0 x, y 0,0
( ) ( ) ( ) ( )
x + y x2 + y2
Rozwiązanie.
x
a) Niech f x, y = . Dziedziną tej funkcji jest zbiór x, y " R2 : y `" -x .
( ) ( )
{ }
x + y
Udowodnimy, że nie istnieje granica tej funkcji dla x, y 0,0 . W tym celu wskażemy
( ) ( )
* * * *
takie dwa ciągi punktów xn, yn i xn, yn , że xn, yn 0,0 oraz xn, yn 0,0 i dla
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
* *
1 1
których lim f xn, yn `" lim f xn, yn . Takimi ciągami są np. xn, yn = , 0,0 i
( ) ( ) ( ) ( )
( )
n n
n" n"
1
1 0
* *
1 1 1 n 1
xn, yn = 0, 0,0 . Dla nich lim f , = lim = , lim f 0, = lim = 0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
1 1 1
n" n" n" n"
+ 2 0 +
n n n
2xy
b) Niech g x, y = . Dziedziną tej funkcji jest R2 \ 0,0 .
( )
( ) { }
x2 + y2
Podobnie jak w punkcie a) pokażemy, ze nie istnieje granica tej funkcji dla x, y 0,0 .
( ) ( )
* *
1 1 1
Biorąc te same ciągi xn, yn = , 0,0 i xn, yn = 0, 0,0 , stwierdzamy, że
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
n n n
1 1 1
2�" �" 2�"0�"
1 1 n n 1 n
lim g , = lim =1, zaś lim g 0, = lim = 0 . Jest to sprzeczne z
( ) ( )
n n n
n" n" n" n"
(1)2 + (1)2 02 + (1)2
n n n
definicją Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych.
Zadanie 4.
1. Korzystając z definicji granicy uzasadnić podane równości:
3x + y 4
a) lim = ; b) lim x2 + y2 = 10 .
x, y 1,1 x, y 8,-6
( ) ( ) ( ) ( )
x2 + 2y2 3
214
2. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją.
2y xy
a) lim0,0 ; b) lim0,0 .
x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( )
3x + y x2 + 2y2
Definicja 18. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie)
Niech P0 = x0, y0 " R2 oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie
( )
S x0, y0 punktu P0 . Funkcja f ma granicę niewłaściwą ", w punkcie
( ) (-"
)
P0 = x0, y0 , co zapisujemy
( )
lim f x, y = " lub lim f Pn = " ,
( ) ( )
xn , yn x0 , y0
( ) ( ) Pn P0
( lim f x, y = -" lub lim f Pn = -" ) ,
( ) ( )
xn , yn x0 , y0
( ) ( ) Pn P0
wtedy i tylko wtedy, gdy
( ) ( )łł
"( �ł lim(xn, yn ) = (x0, y0 ) �! lim f (xn, yn ) = " śł ,
�ł
n"
�ł �ł
xn , yn "S x0 , y0 n"
( ) )
(
( ) ( )łł
"( �ł lim(xn, yn ) = (x0, y0 ) �! lim f (xn, yn ) = -" śł ) ,
�ł
n"
�ł �ł
xn , yn "S x0 , y0 n"
( ) )
lub
�ł
lim Pn = P0 �! lim f Pn = " ,
( ) ( )
( ) ( )łł
"
�ł śł
n"
�ł �ł
Pn"S P0 n"
( )
�ł
( lim Pn = P0 �! lim f Pn = -" ) .
( ) ( )
( ) ( )łł
"
�ł śł
n"
�ł �ł
Pn"S P0 n"
( )
Rys.22 Ilustracja do definicji Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie.
Przykład 11.
Uzasadnić, że
1
a) lim = +" ; b) lim1,0 ln (x -1)2 + y2 = -" .
( )
x, y 0,0 x, y
( ) ( ) ( ) ( )
x2 + y2
215
Rozwiązanie
a) Wprowadzamy pomocniczą zmienną t = x2 + y2 . Wówczas dla x, y 0,0
( ) ( )
t 0+ (dązy do zera poprzez wartości dodatnie) i
1 1
lim = lim = +"
x, y 0,0
( ) ( )
x2 + y2 t0+ t
b) Wprowadzamy pomocniczą zmienną t = (x -1)2 + y2 . Wówczas dla x, y 1,0
( ) ( )
t 0+ i lim1,0 ln (x -1)2 + y2 = lim ln t = -" .
( )
x, y
( ) ( ) t0+
Twierdzenie 1. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie x0, y0 , to
( )
1. lim �ł f x, y + g x, y łł = lim f x, y + lim g x, y ,
( ) ( )�ł ( ) ( ) ( ) ( )
�ł
x, y x0 , y0 x, y x0 , y0
( ) ( ) x, y x0 , y0 ( ) ( )
2. lim �ł f x, y �" g x, y łł = lim f x, y �" lim g x, y ,
( ) ( )�ł �ł ) ( ) ( )łł �ł ) ( ) ( )łł
�ł
�ł śł �ł śł
x, y x0 , y0
( ) ( )
�ł(x, y x0 , y0 �ł �ł(x, y x0 , y0 �ł
lim f x, y
( )
f x, y
( )
x, y x0 , y0
( ) ( )
3. lim = , o ile lim g x, y `" 0 .
( )
x, y x0 , y0 x, y x0 , y0
( ) ( ) ( ) ( )
g x, y lim g x, y
( ) ( )
x, y x0 , y0
( ) ( )
Twierdzenie 2. (o trzech funkcjach)
Jeżeli funkcje f , g , h są określone w pewnym sąsiedztwie S x0, y0 punktu (x0, y0)
( )
oraz f (x, y) d" g(x, y) d" h(x, y) dla (x, y)" S x0, y0 i
( )
lim f (x, y) = lim h x, y = a to również lim g(x, y) = a .
( )
(x, y)(x0 , y0 ) ( ) ( ) (x, y)( x0 , y0 )
x, y x0 , y0
Uwaga.
Nie ma odpowiednika reguły de L`Hospitala do obliczania granic wyrażeń
nieoznaczonych funkcji dwóch zmiennych.
Przykład 12.
Obliczyć podane granice funkcji:
1+ x2 + y2 -1 x3 - y3 x2 y2
a) lim0,0 ; b) lim1,1 ; c) lim0,0 ;
x, y x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x2 + y2 x - y x2 + y2
1
d) lim 1+ x2 + y2 x2 + y2 .
( )
x, y 0,0
( ) ( )
216
Rozwiązanie.
0
�ł �ł
�ł �ł
1+ x2 + y2 -1 1+ x2 + y2 +1
0
�ł łł
( )( )
1+ x2 + y2 -1
lim0,0 = lim0,0 =
x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( )
x2 + y2
(x2 + y2) 1+ x2 + y2 +1
( )
a)
2
1+ x2 + y2 -12
( )
1 1
= lim0,0 = lim0,0 = .
x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( )
2
(x2 + y2) 1+ x2 + y2 +1 1+ x2 + y2 +1
( ) ( )
0
�ł �ł
�ł �ł
x
( - y x2 + xy + y2
)
( )
x3 - y3 �ł 0 łł
b) lim = lim = lim x2 + xy + y2 = 3.
( )
x, y 1,1 x, y 1,1 x, y 1,1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x - y x - y
x2 y2
c) Do obliczenia granicy lim0,0 zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach.
x, y
( ) ( )
x2 + y2
W tym celu wykorzystamy następującą nierówność:
ab 1
dla dowolnych a > 0 , b > 0 d" .
a2 + b2 2
Prawdziwość tej nierówności sprawdzamy bezpośrednio:
ab 1 2
d" �! 0 d" a2 + b2 - 2ab �! 0 d" a - b .
( )
a2 + b2 2
Mamy:
x �" y
x2 y2 1
0 d" = �" x �" y d" x �" y , ( tutaj a = x , b = y ) .
x2 + y2 x2 + y2 2
1
Ponieważ lim x �" y = 0 , więc z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że
x, y 0,0
( ) ( )
2
x2 y2
lim0,0 = 0 .
x, y
( ) ( )
x2 + y2
1
d) Przy obliczaniu granicy lim 1+ x2 + y2 x2 + y2 wprowadzimy pomocniczą zmienną
( )
x, y 0,0
( ) ( )
t = x2 + y2 . Wówczas dla x, y 0,0 t = x2 + y2 0 i
( ) ( )
1
1
t
lim 1+ x2 + y2 x2 + y2 = lim 1+ t = e.
( )
( )
x, y 0,0
( ) ( ) t0
Zadanie 5.
Obliczyć podane granice funkcji:
9 + x2 + y2 - 3 x3 + y3 2x3 y
a) lim0,0 ; b) lim1,-1 ; c) lim0,0 ;
x, y x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x2 + y2 x + y x2 + y2
2
d) lim 1+ x2 y2 x2 y2 .
( )
x, y 0,0
( ) ( )
217
Odpowiedzi.
1 1
a) ; b) ; c) 0 ; d) e2 .
6 3
Granice iterowane
Niech funkcji f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S x0, y0 punktu x0, y0 .
( ) ( )
Oznaczmy przez Ka obszar kwadratowy określony nierównościami
x0 - a < x < x0 + a , y0 - a < y < y0 + a , a > 0 tak, by Ka �" S x0, y0 tj.
( )
Ka = x, y " R2 : x - x0 < a '" y - y0 < a �" S x0, y0 .
( ) ( )
{ }
Definicja 19.
Jeżeli dla każdego x " x0 - a; x0 + a istnieje granica właściwa
( )
lim f x, y = g x ,
( ) ( )
y y0
a ponadto istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
lim g x = A,
( )
xx0
to liczbę A nazywamy granica iterowaną funkcji f , gdy y y0 , a następnie x x0 .
Granicę iterowaną oznczamy symbolem
�ł
lim lim f x, y = A .
( )łł
xx0 �ły y0 śł
�ł �ł
Definicja 20
Jeżeli dla każdego y " y0 - a; y0 + a istnieje granica właściwa
( )
lim f x, y = p y ,
( ) ( )
xx0
a ponadto istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
lim p y = B ,
( )
y y0
to liczbę B nazywamy granica iterowaną funkcji f , gdy x x0 , a następnie y y0 .
Granicę iterowaną oznczamy symbolem
�łlim
lim f x, y = B .
( )łł
y y0 �łxx0 śł
�ł �ł
Uwaga
1. Jeżeli istnieją granice iterowane, to mogą one być różne.
2. Istnienie granicy podwójnej jest niezależne od istnienia granic iterowanych. Granica
podwójna może nie istnieć natomiast granice iterowane mogą istnieć i na odwrót.
Przykład 13.
Obliczyć granice iterowane funkcji
2x - y + x2 + y2
f x, y =
( )
x + y
w punkcie x0, y0 = 0,0 .
( ) ( )
Mamy:
�ł - y + x2 + y2 łł
2x
lim = lim 2 + x = 2,
( )
�łlim x + y śł
x0 y0 x0
�ł �ł
218
�ł - y + x2 + y2 łł
2x
lim = lim y = -1
(-1+
)
�łlim x + y śł
y0 x0 y0
�ł �ł
Natomiast granica podwója
2x - y + x2 + y2
lim0,0
x, y
( ) ( )
x + y
1 1
nie istnieje, bo dla ciągu punktów , �ł�ł�ł 0,0

( ) ( )
n n n"
n + 2 1
1 1
lim f , = lim = ,
( )
n n
n" n"
2n 2
1
natomiast dla ciągu punktów ,0 �ł�ł�ł 0,0

( ) ( )
n n"
2n +1
1
lim f ,0 = lim = 2 .
( )
n
n" n"
n
Związek między granicą podwójną a granicami iterowanymi ustala następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.
Jeżeli
1. Istnieje skończona lun nieskończona granica podwójna
lim f x, y = A ,
( )
x, y x0 , y0
( ) ( )
2. dla każdego y " y0 - a, y0 + a istnieje skończona granica zwykła względem x
( )
lim f x, y = p y ,
( ) ( )
xx0
to istnieje taże granica iterowana
�łlim
lim p y = lim f x, y
( ) ( )łł
y y0 y y0 �łxx0 śł
�ł �ł
i równa się granicy podwójnej.
V. Funkcje ciągłe
Definicja 21. (ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie)
Niech P0 = x0, y0 " R2 oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu
( )
O x0, y0 punktu P0 oraz niech ten punkt będzie punktem skupienia dziedziny Df . Funkcja
( )
f jest ciągła w punkcie P0 = x0, y0 wtedy i tylko wtedy, gdy
( )
lim f x, y = f x0, y0 lub lim f Pn = f P0 .
( ) ( ) ( ) ( )
x, y x0 , y0
( ) ( ) Pn P0
Uwaga.
Jeżeli P0 jest punktem izolowanym dziedziny Df , to funkcja f jest ciągła w tym punkcie.
Definicja 22. (ciągłość funkcji dwóch zmiennych na zbiorze otwartym)
Funkcja f jest ciągła na zbiorze otwartym na płaszczyznie, jeżeli jest ciągła w każdym
punkcie tego zboru.
219
Przykład 14.
Zbadać ciągłość funkcji:
ńł
x2 y
dla x, y `" 0,0 ,
( ) ( )
�ł
x4 + y2
a) f x, y =
( )
�ł
�ł
0 dla x, y = 0,0 .
( ) ( )
ół
ńł
x2 y3
dla x, y `" 0,0 ,
( ) ( )
�ł
x2 + y4
b) f x, y =
( )
�ł
�ł
0 dla x, y = 0,0 .
( ) ( )
ół
Rozwiązanie
a) Funkcja f dla x, y `" 0,0 jest ciągła (jako iloraz dwóch funkcji ciągłych). Wystarczy
( ) ( )
zbadać ciągłość tej funkcji w punkcie 0,0 . Sprawdzamy, czy
( )
x2 y
lim0,0 f x, y = lim0,0 = f 0,0 = 0 .
( ) ( )
x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( )
x4 + y2
x2 y
Udowodnimy, że nie istnieje granica lim0,0 . W tym celu wskażemy takie dwa
x, y
( ) ( )
x4 + y2
* * * *
ciągi punktów xn, yn i xn, yn , że xn, yn 0,0 oraz xn, yn 0,0 dla których
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
* *
1 1
lim f xn, yn `" lim f xn, yn . Takimi ciągami są np. xn, yn = , 0,0 i
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n2
n" n"
* *
1
xn, yn = 0, 0,0 . Dla nich
( ) ( ) ( )
n
1 1
1
�"
1 02 �"
1 1 n2 n2 1 n
lim f , = lim = oraz lim f 0, = lim = 0 .
( )
( )
n n
n2 n" 1 1 1
n" n" n"
+ 2 04 +
n4 n4 n2
Jest to sprzeczne z definicją Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych.
Zatem funkcja ta nie jest ciągła w punkcie 0,0 .
( )
b) ) Funkcja f dla x, y `" 0,0 jest ciągła (jako iloraz dwóch funkcji ciągłych).
( ) ( )
Wystarczy zbadać ciągłość tej funkcji w punkcie 0,0 . Sprawdzamy, czy
( )
x2 y3
lim0,0 f x, y = lim0,0 = f 0,0 = 0 .
( ) ( )
x, y x, y
( ) ( ) ( ) ( )
x2 + y4
Przy obliczaniu tej granicy zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach. W tym celu
wykorzystamy znaną już nierówność:
ab 1
dla dowolnych a > 0, b > 0 d" .
a2 + b2 2
Mamy:
x y2
x2 y3 1
0 d" = �" x y d" x y , ( tutaj a = x , b = y2 ).
x2 + y4 x2 + y4 2
1
Ponieważ lim x y = 0 , więc z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że
x, y 0,0
( ) ( )
2
220
x2 y3
lim0,0 = 0 .
x, y
( ) ( )
x2 + y4
Funkcja f jest więc ciągła w punkcie 0,0 .
( )
Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja ta jest ciągła na całej płaszczyznie R2 .
Twierdzenie 3. (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze D domkniętym i ograniczonym na płaszczyznie, to
w zbiorze tym istnieją punkty a,b oraz c, d , dla których zachodzą równości
( ) ( )
f a,b = sup f x, y = maxD f x, y oraz f c, d = inf f x, y = max f x, y .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x, y " x, y "D x, y "D
( ) ( ) ( )
x, y "D
( )
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
I. Pochodne cząstkowe funkcji
Definicja 1. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu P0 = x0, y0 .
( )
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie
P0 = x0, y0 określamy wzorem:
( )
def
f x0 + "x, y0 - f x0, y0
"f ( ) ( )
x0, y0 = lim .
( )
"x0
"x "x
Pochodną tę oznacza się także symbolem fx x0, y0 .
( )
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie
P0 = x0, y0 określamy wzorem:
( )
def
f x0, y0 + "y f x0, y0
"f ( )- ( )
x0, y0 = lim .
( )
"y0
"y "y
Pochodną tę oznacza się także symbolem fy x0, y0 .
( )
Przykład 1.
Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji we
wskazanych punktach:
a) f x, y = x + 2xy , x0, y0 = 0,0 ; b) f x, y = x4 + y4 , x0, y0 = 0,0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rozwiązanie
a) f x, y = x + 2xy , f 0,0 = 0 .
( ) ( )
def
f 0 + "x,0 - f 0,0 0 + "x + 2 0 + "x �"0
"f ( ) ( ) ( ) ( ) - 0
"x
0,0 = lim = lim = lim = 1.
( )
"x0 "x0 "x0
"x "x "x "x
def
f 0,0 + "y f 0,0 0 + 2�"0�" 0 + "y - 0
"f ( )- ( ) ( )
0,0 = lim = lim = 0 .
( )
"y0 "y0
"y "y "y
221
b) f x, y = x4 + y4 , f 0,0 = 0 .
( ) ( )
4
2
def
0 + "x + 04
f 0 + "x,0 f 0,0 ( ) - 0
"x
"f ( )- ( ) ( )
0,0 = lim = lim = lim = lim "x = 0 .
( )
"x0 "x0 "x0 "x0
"x "x "x "x
4
2
def
04 + 0 + "y - 0
f 0,0 + "y f 0,0 ( ) "y
"f ( )- ( ) ( )
0,0 = lim = lim = lim = lim "y = 0 .
( )
"y0 "y0 "y0 "y0
"y "y "y "y
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych
Niech funkcja z = f x, y ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
( )
P0 = x0, y0 . Ponadto niech ą oznacza kat nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w
( )
wyniku przekroju powierzchni będącej wykresem funkcji f płaszczyzną y = y0 (równoległą
do płaszczyzny xOz ) w punkcie Q0 = x0, y0, f (x0, y0) , do płaszczyzny xOy oraz niech �
( )
oznacza kat nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni
będącej wykresem funkcji f płaszczyzną x = x0 (równoległą do płaszczyzny yOz ) w
punkcie Q0 = x0, y0, f (x0, y0) , do płaszczyzny xOy . Wtedy:
( )
"f "f
x0, y0 = tgą , x0, y0 = tg� .
( ) ( )
"x "y
Pochodna cząstkowa fx x0, y0 jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f względem
( )
zmiennej x przy ustalonej wartości zmiennej y , zaś pochodna cząstkowa fy x0, y0 jest
( )
miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f względem zmiennej y przy ustalonej wartości
zmiennej x .
Rys.1 Interpretacja geometryczna pochodnej Rys.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
cząstkowej . fx x0, y0 cząstkowej fy x0, y0 .
( ) ( )
Uwaga.
Odmiennie niż dla funkcji jednej zmiennej wygląda związek miedzy ciągłością funkcji a
istnieniem pochodnych cząstkowych. Funkcja dwóch zmiennych może mieć w punkcie obie
pochodne cząstkowe, ale nie musi być w tym punkcie ciągła.
222
Przykład 2.
2xy
ńł
dla x, y `" 0,0 ,
( ) ( )
�ł
x2 + y2
Niech f x, y =
( )
�ł
�ł
0 dla x, y = 0,0 .
( ) ( )
ół
Funkcja ta nie ma granicy dla x, y 0,0 , (patrz przykład 2,b) , a więc nie jest ciągła
( ) ( )
w tym punkie. Pokażemy, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie 0,0
( )
istnieją. Obliczymy je z definicji.
f 0,0 = 0 ,
( )
2 0 + "x �"0
( )
- 0
2
def
f 0 + "x,0 - f 0,0 0 + "x + 02
"f ( ) ( ) ( )
0,0 = lim = lim = 0 .
( )
"x0 "x0
"x "x "x
2�"0�" 0 + "y
( )
- 0
2
def
f 0,0 + "y - f 0,0 02 + 0 + "y
"f ( ) ( ) ( )
0,0 = lim = lim = 0 .
( )
"y0 "y0
"y "y "y
Definicja 2. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na zbiorze otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru
otwartego D �" R2 , to funkcje
"f "f
x, y , x, y , gdzie x, y " D ,
( ) ( ) ( )
"x "y
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy
odpowiednio przez
"f "f
, lub fx , fy .
"x "y
Uwaga.
Prze obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej drugą zmienną traktujemy
def def
jako stałą. Niech F x = f x, y0 oraz G y = f x0, y , gdzie x0, y0 jest ustalonym
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
punktem dziedziny funkcji f . Wówczas
"f "f
2 2
x0, y0 = F x0 oraz x0, y0 = G y0 .
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
Przy obliczaniu pochodnych cząstkowych można stosować reguły różniczkowania funkcji
jednej zmiennej tj. wzory na pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu oraz wzór na
pochodną funkcji złożonej.
223
Zadanie 1.
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
podanych funkcji:
a) f x, y = x3 + y3 - 3xy ; b) f x, y = x3 + xy2 - 5xy3 + y5 ; c) f x, y = x3y - y3x ;
( ) ( ) ( )
x - y
d) f x, y = ; e) f x, y = ln x2 + y2 ; f) f x, y = exy ; g) f x, y = sin 2x2 + y2 .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x + y
Odpowiedzi
"f "f "f "f
a) = 3x2 - 3y , = 3y2 - 3x ; b) = 3x2 + y2 - 5y3 , = 2xy -15xy2 + 5y4 ;
"x "y "x "y
"f "f "f 2y "f -2x
c) = 3x2 y - y3 , = x3 - 3xy2 ; d) = , = ;
2 2
"x "y "x "y
x + y x + y
( ) ( )
"f 2x "f 2y "f "f "f
e) = , = ; f) = yexy , = xexy ; g) = 4x cos 2x2 + y2 ,
( )
"x x2 + y2 "y x2 + y2 "x "y "x
"f
= 2y cos 2x2 + y2 .
( )
"y
Definicja 3. (pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
Niech funkcja ma pochodne cząstkowe "f / "x, "f / "y przynajmniej w otoczeniu punktu
x0, y0 . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie x0, y0 określamy
( ) ( )
wzorami:
def def
"2 f �ł " "f �ł "2 f �ł " "f
�ł �ł �ł �ł�ł x0, y0 ,
x0, y0 = x0, y0 , x0, y0 =
( ) ( ) ( ) ( )
�ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł�ł
"x2 "x "x "x"y "y "x
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
def def
�ł �ł �ł �ł
"2 f " �ł "f �ł "2 f " �ł "f �ł
x0, y0 = x0, y0 , x0, y0 = x0, y0 .
( ) ( ) ( ) ( )
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
"y"x "x "y "y2 "y "y
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
Powyższe pochodne oznacza się także odpowiednio przez
fxx x0, y0 , fxy x0, y0 , fyx x0, y0 , fyy x0, y0 .
( ) ( ) ( ) ( )
Definicja 4. (pochodne cząstkowe drugiego rzędu na zbiorze otwartym )
Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego
D �" R2 , to funkcje:
"2 f "2 f "2 f "2 f
x, y , x, y , x, y , x, y , gdzie x, y " D ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"x2 "x"y "y"x "y2
nazywamy pochodnymi drugiego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy odpowiednio
przez "2 f / "x2 , "2 f / "x"y , "2 f / "y"x , "2 f / "y2 przez fxx , fxy , fyx , fyy .
Uwaga.
Pochodne cząstkowe fxy , fyx nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi.
224
Twierdzenie 1. (Schwarza o pochodnych mieszanych)
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane "2 f / "x"y , "2 f / "y"x są ciągłe w punkcie x0, y0 ,
( )
to zachodzi równość :
"2 f "2 f
x0, y0 = x0, y0 .
( ) ( )
"x"y "y"x
Przykład 3.
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji:
a) f x, y = x3 + 3x2 y2 + y4 ; b) f x, y = x3 - y3 + x2 y - xy +1 ; c) f (x, y) = xesin y .
( ) ( )
Rozwiązanie
a) Obliczamy najpierw pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
"f "f
= 3x2 + 6xy2 , = 6x2 y + 4y3 .
"x "y
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2 f "2 f "2 f "2 f
= 6x + 6y2 , = 6x2 +12y2 , = 12xy , =12xy .
"x2 "y2 "x"y "y"x
b) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
"f "f
= 3x2 + 2xy - y , = -3y2 + x2 - x .
"x "y
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2 f "2 f "2 f "2 f
= 6x + 2y , = -6y , = 2x -1 , = 2x -1.
"x2 "y2 "x"y "y"x
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
"f "f
= esin y , = x cos y esin y .
"x "y
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2 f "2 f "2 f
�ł-sin łł
= 0 , = x y esin y + cos2 y esin y �ł = x esin y -sin y + cos2 y , = cos y esin y ,
( )
"x2 "y2 �ł "x"y
.
"2 f
= cos y esin y.
"y"x
II. Różniczka funkcji
Definicja 5. (funkcja różniczkowalna w punkcie)
"f "f
Załóżmy, ze istnieją pochodne cząstkowe x0, y0 , x0, y0 . Funkcja f jest
( ) ( )
"x "y
różniczkowalna w punkcie x0, y0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
( )
"f "f
f x0 + h, y0 + k f x0, y0 x0, y0 �" h x0, y0 �" k
( )- ( )- ( ) - ( )
"x "y
lim = 0 .
h,k 0,0
( ) ( )
h2 + k2
Twierdzenie 2.
225
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, y0 , to jest ciągła w tym punkcie.
( )
Uwaga.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym następujący przykład:
Funkcja f x, y = x2 + y2 jest ciągła w punkcie 0,0 , gdyż
( ) ( )
lim x2 + y2 = 0 = f 0,0 .
( )
x, y 0,0
( ) ( )
W punkcie 0,0 nie istnieją jednak pochodne cząstkowe tej funkcji, gdyż ilorazy różnicowe:
( )
2
0 + h + 02
f 0 + h,0 f 0,0 ( ) - 02 + 02
h 1 gdy h > 0,
( )- ( ) ńł
= = =
�ł-1 gdy h < 0.
h h h
ół
oraz
2
02 + 0 + k - 02 + 02
f 0,0 + k - f 0,0 ( ) k 1 gdy k > 0,
( ) ( ) ńł
= = =
�ł-1 gdy k < 0.
k k k
ół
nie mają granicy odpowiednio dla h 0 oraz k 0 .
Funkcja nie jest więc różniczkowalna w punkcie 0,0 .
( )
Twierdzenie 3.
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe "f / "x , "f / "y ciągłe w punkcie x0, y0 ,to jest
( )
różniczkowalna w tym punkcie.
Definicja 6. (różniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu "f / "x , "f / "y w punkcie
x0, y0 . Różniczką zupełną funkcji f w punkcie x0, y0 nazywamy wyrażenie
( ) ( )
def
"f "f
df x0, y0 = x0, y0 dx + x0, y0 dy ,
( ) ( ) ( )
"x "y
lub
def
"f "f
df x0, y0 = x0, y0 �" h + x0, y0 �" k ,
( ) ( ) ( )
"x "y
gdzie dx = "x = h - przyrost argumentu x0 , dy = "y = k - przyrost argumentu y0 .
Uwaga.
"f "f
Wyrażenia x0, y0 dx oraz x0, y0 dy nazywamy różniczkami cząstkowymi
( ) ( )
"x "y
funkcji f w punkcie x0,y0 .
( )
Przykład 4.
Obliczyć różniczki podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f x,y = x2 +y2 , x0,y0 = 3, -4 ;
( ) ( ) ( )
b) f x,y = x2y3 , x0,y0 = ;
( ) ( ) (-1,1
)
Rozwiązanie:
"f x "f 3 "f y "f 4
a) = , 3, -4 = , = , 3, -4 = - .
( ) ( )
"x 5 "y 5
x2 +y2 "x x2 +y2 "x
226
Różniczka zupełna
"f "f 3 4
df 3,-4 = 3, -4 dx + 3, -4 dy = dx - dy .
( ) ( ) ( )
"x "y 5 5
"f "f "f "f
b) = 2xy3 ,
(-1,1 = -2 , = 3x2y2 ,
) (-1,1 = 3.
)
"x "x "y "x
Różniczka zupełna
"f "f
df
(-1,1 =
) (-1,1 dx +
) (-1,1 dy = -2dx + 3dy .
)
"x "y
Wniosek.
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie x0, y0 . Wtedy dla
( )
dostatecznie małych przyrostów "x , "y
"f "f
f x0 + "x, y0 + "y H" f x0, y0 + x0, y0 "x + x0, y0 "y ,
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
przy czym błąd � "x,"y powyższego przybliżenia, tj. różnica "f - df , dąży szybciej do 0
( )
2 2
niż wyrażenie "x + "y . Oznacza to, że
( ) ( )
� "x, "y
( )
lim = 0 ,
2 2
"x,"y 0,0
( ) ( )
"x + "y
( ) ( )
( "f = f x0 + "x, y0 + "y - f x0, y0 ) .
( ) ( )
Przykład 5.
Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
4 2 2 2
a) 1,02 �" 0,97 ; b) 3,03 + 4,04 .
( ) ( ) ( ) ( )
Rozwiązanie.
a) Niech f x,y = x4y2 , x0 = 1 , y0 = 1 , "x = 0,02 , "y = -0,03 . Wówczas
( )
4 2
1,02 �" 0,97 = f x0 + "x,y0 + "y = f 1+ 0,02,1- 0,03 .
( ) ( ) ( ) ( )
Stosujemy przybliżony wzór:
"f "f
f x0 + "x,y0 + "y H" f x0,y0 + x0,y0 "x + x0,y0 "y .
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
W naszym przypadku
"f "f "f "f
f 1,1 =1 , = 4x3y2 , 1,1 = 4 , = 2x4y , 1,1 = 2 . Zatem
( ) ( ) ( )
"x "x "y "x
4 2 "f "f
1,02 �" 0,97 H" f 1,1 + 1,1 "x + 1,1 "y = 1+ 4�" 0,02 + 2�"
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-0,03 = 1,02 .
)
"x "y
b) Niech f x,y = x2 +y2 , x0 = 3 , y0 = 4 , "x = 0,03 , "y = 0,04 . Wówczas
( )
2 2
3,03 + 4,04 = f x0 + "x,y0 + "y = f 3+ 0,03,4 + 0,04 .
( ) ( ) ( ) ( )
Stosujemy przybliżony wzór:
227
"f "f
f x0 + "x,y0 + "y H" f x0,y0 + x0,y0 "x + x0,y0 "y .
( ) ( ) ( ) ( )
"x "y
W naszym przypadku
"f x "f 3 "f y "f 4
f 3, 4 = 32 + 42 = 5 , = , 3, 4 = , = , 3,4 = .
( ) ( ) ( )
"x "x 5 "y "y 5
x2 +y2 x2 +y2
Zatem
2 2 "f "f 3 4
3,03 + 4,04 H" f 3,4 + 3, 4 "x + 3,4 "y = 5 + �" 0,03 + �" 0,04 = 5,05 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"x "y 5 5
Zadanie 1.
Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
2 3 2 2
a) 1,02 + 0,99 ; b) 6,01 + 7,99 .
( ) ( ) ( ) ( )
Odpowiedzi.
a) 2,01 ; b) 9,998 .
III. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Twierdzenie 4 (o pochodnej funkcji złożonej)
Niech
1. funkcje x = x t , y = y t mają pochodne w punkcie t0 ,
( ) ( )
2. funkcja z = f x, y ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
( )
x(t0), y(t0) .
( )
Wtedy funkcja złożona F t = f x(t), y(t) ma pochodną w punkcie t0 i
( ) ( )
dF "f dx "f dy
= �" + �" ,
dt "x dt "y dt
gdzie pochodne dx / dt , dy / dt obliczane są w punkcie t0 , a pochodne cząstkowe
"f / "x , "f / "y w punkcie x(t0), y(t0) .
( )
Uwaga.
Powyższy wzór można zapisać w formie iloczynu macierzy, tj.
dx
�ł łł
�ł śł
�ł
dF "f "f łł
�ł łł dt
= .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
dt "x "y dy
�ł �ł
�ł �ł �ł śł
�ł śł
�ł dt �ł
Przykład 6.
Korzystając z powyższych wzorów obliczyć pochodną funkcji złożonej F t = f x(t), y(t)
( ) ( )
w punkcie t0 , jeżeli f x, y = xy2 - y , x = e-t , y = e2t , t0 = 0 .
( )
Rozwiązanie.
"f "f dx dy
Obliczamy kolejno: = y2 , = 2xy -1 , = -e-t , = 2e2t .
"x "y dt dt
228
Tak więc
2
dF "f dx "f dy
= �" + �" = y2 -e-t + 2xy -1 2e2t = e2t -e-t + 2e-te2t -1 2e2t =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dt "x dt "y dt
= 3e3t - 2e2t.
dF
Ostatecznie 0 = 1.
( )
dt
Uwaga.
Wynik ten można uzyskać prościej wstawiając do funkcji f x, y za x = e-t , y = e2t .
( )
2
2
Otrzymamy wówczas F t = e-t e2t - e2t = e3t - e2t i F t = 3e3t - 2e2t .
( ) ( )
( )
2
Zatem F 0 = 3 - 2 =1.
( )
Twierdzenie 5 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Niech
1. funkcje x = x u,v , y =y u,v mają pochodne w punkcie u0,v0 ,
( ) ( ) ( )
2. funkcja z = f x,y ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
( )
x(u0,v0),y(u0,v0) .
( )
Wtedy funkcja złożona F u,v = f x(u,v),y(u,v) ma w punkcie u0,v0 pochodne
( ) ( ) ( )
cząstkowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami:
"F "f "x "f "y "F "f "x "f "y
= �" + �" , = �" + �" ,
"u "x "u "y "u "v "x "v "y "v
gdzie pochodne cząstkowe "x / "u , "x / "v , "y / "u , "y / "v obliczone są w punkcie
u0,v0 , a pochodne "f / "x , "f / "y w punkcie x(u0,v0),y(u0,v0) .
( ) ( )
Uwaga.
Powyższe wzory można zapisać w formie iloczynu macierzy:
"x "x
�ł łł
�ł"u "v śł
"F "F �ł "f "f łł
�ł łł
= ,
�ł śł
�ł"x "y śł
�ł śł
"u "x "y "v
�ł �ł
�ł �ł
�ł śł
�ł"u "v śł
�ł �ł
Jeżeli f jest funkcją tylko jednej zmiennej, to reguły różniczkowania funkcji złożonej
F u,v = f x(u,v) przyjmują postać:
( ) ( )
"F "f "x "F "f "x
= �" , = �" .
"u "x "u "v "x "v
Przykład 6.
Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji złożonej F u,v = f x(u,v),y(u,v)
( ) ( )
w punkcie u0,v0 , jeżeli f x,y = x2 -xy +y2 , x =u +v , y =u -v , u0,v0 = 1,1 .
( ) ( ) ( ) ( )
Rozwiązanie.
"f "f "x "x "y "y
Mamy: = 2x -y , = -x + 2y , = 1 , = 1, = 1 , = -1.
"x "y "u "v "u "v
"F "f "x "f "y
= �" + �" = 2x -y �"1+ + 2y �"1= x +y =u +v +u -v = 2u,
( ) (-x
)
"u "x "u "y "u
229
"F "f "x "f "y
= �" + �" = 2x -y �"1+ + 2y = 3x - 3y = 3(u +v) - 3(u -v) = 6v,
( ) (-x
)(-1
)
"v "x "v "y "v
"F "F
Zatem 1,1 = 2 , 1,1 = 6 .
( ) ( )
"u "v
IV. Pochodna kierunkowa funkcji
Definicja 7. (pochodna kierunkowa funkcji)
Niech będzie dany na płaszczyznie wektor v = vx ,vy taki, że v = vx2 +vy2 = 1. Wektor v
( )
nazywamy wektorem jednostkowym (wersorem). Jeżeli ą jest miarą kąta, jaki tworzy ten
wektor z dodatnim kierunkiem osi OX a � - miarą kąta, jaki tworzy ten wektor z dodatnim
kierunkiem osi OY , to vx = cos ą , vy = cos� . Są to tzw. cosinusy kierunkowe wektora v .
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x0,y0 w kierunku wersora v = vx ,vy
( )
( )
określamy wzorem:
def
f x0 +tvx ,y0 +tvy - f x0,y0
( )
( )
"f
x0,y0 = lim .
( )
t0
"v t
Uwaga.
1. Z definicji pochodnej kierunkowej wynika, że dla wektorów v =i = 1,0 oraz
( )
v = j = 0,1 mamy:
( )
"f "f "f "f
x0,y0 = x0,y0 i x0,y0 = x0,y0
( ) ( ) ( ) ( )
"i "x "j "y
2. Niektórzy autorzy przyjmują, że w definicji pochodnej kierunkowej t dąży do zera
poprzez wartości dodatnie tj. t 0+ .
Twierdzenie 6.
Jeżeli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie x0,y0 , to
( )
"f "f "f
x0,y0 = x0,y0 �"cos ą + x0,y0 �"cos� ,
( ) ( ) ( )
"v "x "y
lub
"f "f "f
x0,y0 = x0,y0 �"vx + x0,y0 �"vy .
( ) ( ) ( )
"v "x "y
W zapisie macierzowym
vx
�ł łł
"f �ł "f "f łł
x0,y0 = x0,y0 x0,y0 śł �" .
( ) ( ) ( )
�łv śł
�ł"x
"v "y
�ł �ł y
�ł �ł
Przykład 7.
Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach dla
wymienionych wersorów:
230
1 1
a) f x,y = 2x2 +y2 , x0,y0 = 1,1 , v = , ;
( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 4
b) f x,y = x2 +y2 , x0,y0 = 4,3 , v = ,- )
( ) ( ) ( ) (- .
5 5
Rozwiązanie.
"f "f "f "f 1 1
a) = 4x , 1,1 = 4 , = 2y , 1,1 = 2 , vx = , vy = .
( ) ( )
"x "x "y "y
2 2
Zatem pochodna kierunkowa
"f "f "f 1 1 6
1,1 = 1,1 �"vx + 1,1 �"vy = 4�" + 2�" = = 3 2 .
( ) ( ) ( )
"v "x "y
2 2 2
"f x "f 4 "f y "f 3 3 4
b) = , 4,3 = , = , 4,3 = , vx = - , vy = - .
( ) ( )
"x "x 5 "y "y 5 5 5
x2 +y2 x2 +y2
Pochodna kierunkowa
"f "f "f 4 3 3 4 24
�ł �ł �ł �ł
4,3 = 4,3 �"vx + 4,3 �"vy = - + - = - .
( ) ( ) ( )
�ł �ł �ł �ł
"v "x "y 5 5 5 5 25
�ł łł �ł łł
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej
Niech ł oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny xOy półstycznej do krzywej otrzymanej w
wyniku przekroju wykresu funkcji f półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą
x = x0 , y =y0 oraz równoległą do wersowa v . Wtedy
"f
x0,y0 = tgł .
( )
"v
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wektora v .
Rys.2 Inerpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji.
Definicja 8. (gradient funkcji)
Gradientem funkcji nazywamy wektor
def
"f "f
�ł
grad f x0,y0 = x0,y0 , x0,y0 �ł .
( ) ( ) ( )�ł
�ł
"x "x
�ł łł
231
Uwaga.
Jeżeli dane są dwa wektory na płaszczyznie: a = ax ,ay ,b = bx ,by , to iloczynem
( ) ( )
skalarnym tych wektorów nazywamy liczbę:
a b =axbx +ayby =|a | �"|b | �"cos ł ,
gdzie ł jest miarą kąta między tymi wektorami ( 0 d" ł d" Ą ).
Pochodną kierunkową można zapisać zatem w następujący sposób:
"f
x0,y0 = grad f x0,y0 v = |grad f x0,y0 |�" |v | �"cos ł ,
( ) ( ) ( )
"v
gdzie ł jest miarą kąta między gradientem a wektorem kierunkowym.
Pochodna kierunkowa osiągnie największą wartość, gdy cos ł = 1 , czyli ł = 0 .Oznacza to,
że w tym przypadku gradient jest równoległy do wektora v .
Interpretacja geometryczna gradientu
1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym
punkcie.
2. Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten
punkt.
Rys.3 Gradient wskazuje kierunek najszybszego Rys.4 Gradient funkcji jest prostopadły
wzrostu funkcji w punkcie. do poziomicy.
Przykład 7.
Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i
kierunkach:
3
1
a) f x,y = x3 +y3 , x0,y0 =
( ) ( ) (-1,1 , v = , - ;
)
( )
2 2
3 4
b) f x,y = sinx cosy , x0,y0 = 0,Ą , v = ,- )
.
( ) ( ) ( ) (
5 5
Rozwiązanie.
"f "f "f "f
a) = 3x2 ,
) ( )
(-1,1 = 3 , = 3y2 ,
) (-1,1 = 3 �! grad f = 3,3
) (-1,1
"x "x "y "x
Pochodna kierunkowa
"f
3 3 3 3
1 1 3
(-1,1 = grad f v = 3,3 , - = 3�" + 3�" - = - .
) (-1,1
) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
"v
"f "f "f "f
b) = cosx cosy , 0, Ą = -1 , = -sinx siny , 0, Ą = 0 ,
( ) ( )
"x "x "y "x
232
grad f 0, Ą = .
( ) (-1,0
)
Pochodna kierunkowa
"f
3 4 3 4 3
0, Ą = grad f 0,Ą v = , - ) (-1 �" + 0�" = - .
( ) ( ) (-1,0 =
) ( ) (- )
5 5 5 5 5
"v
V. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. Ekstrema lokalne
Definicja 9. (minimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja f ma w punkcie x0, y0 minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu
( )
takie, że dla dowolnego punktu x,y z tego otoczenia zachodzi nierówność :
( )
f x, y e" f x0, y0 .
( ) ( )
Rys.5 Funkcja f ma w punkcie x0, y0 Rys.6 Funkcja f ma w punkcie x0, y0
( ) ( )
minimum lokalne minimum lokalne właściwe.
2. Funkcja f ma w punkcie x0, y0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo
( )
tego punktu takie, że dla dowolnego punktu x, y z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność :
( )
f x, y > f x0, y0 .
( ) ( )
Definicja 10. (maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja f ma w punkcie x0, y0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego
( )
punktu takie, że dla dowolnego punktu x,y z tego otoczenia zachodzi nierówność :
( )
f x, y d" f x0, y0 .
( ) ( )
2. Funkcja f ma w punkcie x0, y0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo
( )
tego punktu takie, że dla dowolnego punktu x,y z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność :
( )
f x, y < f x0, y0 .
( ) ( )
233
Rys.5 Funkcja f ma w punkcie x0, y0 Rys.6 Funkcja f ma w punkcie x0, y0
( ) ( )
maksimum lokalne maksimum lokalne właściwe.
Uwaga.
Maksimum lub minimum lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie 7. (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie x0, y0 ,
( )
2. istnieją pochodne cząstkowe "f / "x x0, y0 , "f / "y x0, y0 ,
( ) ( )
to
"f "f
x0, y0 = 0 , x0, y0 = 0 .
( ) ( )
"x "y
Uwaga.
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których przynajmniej jedna z nich nie
istnieje.
Punkty , w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe 0 nazywamy punktami
stacjonarnymi.
Uwaga.
"f "f
1. Warunek x0, y0 = 0 , x0, y0 = 0 można zapisać w równoważny sposób:
( ) ( )
"x "y
grad f x0, y0 = 0,0 .
( ) ( )
2. Zerowanie się w punkcie obu pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia
ekstremum lokalnego. Np. funkcja f x, y = -x3 , (rys.) spełnia warunki
( )
"f "f
0,0 = 0 , 0,0 = 0 ,
( ) ( )
"x "y
ale nie ma ekstremum w punkcie 0,0 (rys).
( )
234
Twierdzenie 8. (warunek dostateczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu x0, y0
( )
oraz niech
"f "f
x0, y0 = 0 , x0, y0 = 0 .
( ) ( )
"x "y
1. Jeżeli
"2 f "2 f
x0, y0 x0, y0
( ) ( )
2
"x2 "x"y �ł "2 f
"2 f "2 f
W x0, y0 = = x0, y0 x0, y0 �ł"x"y x0, y0 śł > 0,
( ) ( ) ( )- ( )łł
"x2 "y2
"2 f "2 f
�ł �ł
x0, y0 x0, y0
( ) ( )
"y"x "y2
to funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe w punkcie x0, y0 .
( )
"2 f
a) Jest to minimum , gdy x0, y0 > 0 .
( )
"x2
"2 f
b) Jest to maksimum , gdy x0, y0 < 0 .
( )
"x2
2. Jeżeli W x0, y0 < 0 , to funkcja nie ma ekstremum w punkcie x0, y0 .
( ) ( )
Uwaga
Jeżeli W x0, y0 = 0 , to badanie, czy funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie x0, y0 ,
( ) ( )
przeprowadzamy innymi metodami (np. korzystając z definicji).
Przykład 8.
Znalezć ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:
a) f x, y = y3 + 3x2 y - 6xy + 4 ;
( )
b) f x, y = 2x + y2 ex .
( )
( )
Rozwiązanie.
a) Dziedzina Df = R2 (cała płaszczyzna).
Warunek konieczny ekstremum:
"f
ńł
�ł"x = 6xy - y = 0,
�ł
�ł"f
�ł
= 3y2 + 3x2 - 6x = 0 = 0.
�ł"y
ół
Rozwiązaniami tego układu są punkty (stacjonarne): P1 1,1 , P2 1, -1 , P3 0,0 , P4 2,0 .
( ) ( ) ( ) ( )
Teraz obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu oraz ich wartości dla punktów
stacjonarnych. Wyniki wygodniej jest przedstawić w postaci tabeli:
235
P1 1,1 P2 1, -1 P3 0,0 P4 2,0
( ) ( ) ( ) ( )
"2 f
= 6y
6 -6 0 0
"x2
"2 f
= 6x - 6
0 0 -6 6
"x"y
"2 f
= 6x - 6
0 0 -6 6
"y"x
"2 f
= 6y
6 -6 0 0
"y2
W 1,1 = W 1, -1 = W 0,0 = W 2,0 =
W x, y = ( ) ( ) ( ) ( )
( )
36 > 0 36 > 0 -36 < 0 -36 < 0
6y 6x - 6
minimum maksimum brak brak
6x - 6 6y
lokalne lokalne ekstremum ekstremum
Zatem funkcja f ma minimum lokalne w punkcie 1,1 równe fmin = f 1,1 = 2 oraz
( ) ( )
ma maksimum lokalne w punkcie 1, -1 równe fmax = f 1, -1 = 6.
( ) ( )
b) Dla funkcji f x, y = 2x + y2 ex mamy:
( )
( )
"f "f
= 2ex + 2x + y2 ex = 2x + y2 + 2 ex , = 2yex ,
( ) ( )
"x "y
"2 f "2 f "2 f "2 f
= 2ex + 2x + y2 + 2 ex = 2x + y2 + 4 ex , = = 2yex, = 2ex .
( ) ( )
"x2 "x"y "y"x "y2
Rozwiązaniem układu równań
"f
ńł
( )
�ł"x = 2x + y2 + 2 ex = 0,
�ł
�ł"f
�ł
= 2yex = 0,
�ł"y
ół
są liczby x = -1 i y = 0 . Zatem funkcja f może mieć ekstremum w punkcie .
(-1,0
)
Ponieważ w tym punkcie mamy
"2 f "2 f
(-1,0
) (-1,0
)
"x2 "x"y 2e-1 0
W = = 4e-2 > 0 ,
(-1,0 =
)
0 2e-1
"2 f "2 f
(-1,0
) (-1,0
)
"y"x "y2
"2 f
oraz
(-1,0 = 2e-1 > 0 ,
)
"x2
więc funkcja f ma tam minimum lokalne równe fmin = f
(-1,0 = -2e-1.
)
236
Zadanie2
Znalezć ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:
a) f x, y = x3 + xy2 + 6xy ;
( )
1
y
b) f x, y = x2 + y e2 .
( )
( )
Odpowiedzi.
a) fmin = f 3, -3 = -6 3 , fmax = f - 3,-3 = 6 3 .
( ) ( )
2
b) fmin = f 0, -2 = - .
( )
e
2. Ekstremum warunkowe funkcji
Definicja 11. (minimum warunkowe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0, y0 minimum lokalne właściwe z warunkiem g x, y = 0
( ) ( )
(minimum warunkowe) , gdy g x0, y0 = 0 oraz istnieje liczba � >0 taka, że
( )
f x, y > f x0, y0 dla każdego punktu x, y należącego do sąsiedztwa S (x0, y0),�
( ) ( ) ( ) ( )
spełniającego warunek g x, y = 0 .
( )
Definicja 12. (maksimum warunkowe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0, y0 maksimum lokalne właściwe z warunkiem g x, y = 0
( ) ( )
(maksimum warunkowe) , gdy g x0, y0 = 0 oraz istnieje liczba � >0 taka, że
( )
f x, y < f x0, y0 dla każdego punktu x, y należącego do sąsiedztwa S (x0, y0),�
( ) ( ) ( ) ( )
spełniającego warunek g x, y = 0 .
( )
Rys. 7. Funkcja f osiąga w punkcie x0, y0 maksimum z warunkiem g x, y = 0.
( ) ( )
Uwaga.
Jeżeli równanie g x, y = 0 daje się rozwikłać, czyli możliwe jest wyznaczenie zmiennej y
( )
jako funkcji zmiennej x tj. y = h x , x " a;b , lub zmiennej x jako funkcji zmiennej y
( )
tj. x = p y , y " c;d , to szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f x, h(x) na
( ) ( )
przedziale a;b lub funkcji jednej zmiennej f p(y), y na przedziale c;d ( stosując
( )
rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej ).
237
Przykład 9.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach:
a) f x, y = 2x - 2xy + y2 , g x, y = y - x2 = 0 ;
( ) ( )
b) f x, y = x2 - 2xy , g x, y = x - y2 = 0 .
( ) ( )
Rozwiązanie.
a) Równanie g x, y = 0 w tym przypadku daje się rozwikłać. Mamy y = x2 . Wstawiając
( )
do funkcji f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
2
h(x) = f x, x2 = 2x - 2x �" x2 + x2 = x4 - 2x3 + 2x.
( ) ( )
2
Warunek konieczny istnienia ekstremum: h (x) = 0 .
2 1
1
2
h (x) = 4x3 - 6x2 + 2 = 4 x + x -1 = 0 �! x = - (" x = 1 .
( )( )
2
2
1
2
W punkcie x = - funkcja h ma minimum lokalne (gdyż pochodna h (x) zmienia znak z -
2
na + w otoczeniu tego punktu), natomiast w punkcie x = 1 nie ma ekstremum (gdyż
2
1 1 1
�ł �ł
pochodna nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Dla x = - y = - = .
�ł �ł
2 2 4
�ł łł
1 1
Zatem funkcja f x, y = 2x - 2xy + y2 ma w punkcie , minimum warunkowe przy
( ) (- )
2 4
1 1 11
warunku y = x2 . fmin = f , = - .
(- )
2 4 16
b) Równanie g x, y = 0 w tym przypadku daje się też rozwikłać. Mamy x = y2 .
( )
Wstawiając do funkcji f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
2
p(y) = f y2, y = y2 - 2y2 �" y = y4 - 2y3 .
( ) ( )
2
Warunek konieczny istnienia ekstremum: p (y) = 0 .
3
3
2
p ( y) = 4y3 - 6y2 = 4y2 y - )
= 0 �! y = 0 (" y = .
(
2
2
3
2
W punkcie x = funkcja ma minimum lokalne (gdyż pochodna p (y) zmienia znak z -
2
na + w otoczeniu tego punktu), natomiast w punkcie y = 0 nie ma ekstremum (gdyż
3 9
pochodna nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Dla y = x = .
2 4
9 3
Zatem funkcja f x, y = x2 - 2xy ma w punkcie , minimum warunkowe przy
( ) ( )
4 2
9 3 27
warunku x = y2 . fmin = f , = - .
( )
4 2 16
Zadanie 3.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach:
a) f x, y = 4xy , g x, y = x - y - 6 = 0 ;
( ) ( )
b) f x, y = x2 + xy + y2 , g x, y = x + y -1 = 0 .
( ) ( )
Odpowiedzi.
1 1 3
a) fmin = f 3,-3 = 36 ; b) fmin = f , = .
( ) ( )
2 2 4
238
Metoda mnożników nieoznaczonych Lagrange`a
Wyznaczanie ekstremów warunkowych funkcji f przy warunku g x, y = 0 możemy
( )
przeprowadzić wprowadzając funkcję pomocniczą ( funkcję Lagrange`a ) postaci:
L x, y, = f x, y + g x, y ,
( ) ( ) ( )
gdzie jest pewnym nieoznaczonym mnożnikiem.
Wówczas możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie.
Twierdzenie 9. (warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego)
Niech funkcja f ma w punkcie x0, y0 ekstremum lokalne właściwe z warunkiem
( )
g x, y = 0 . Załóżmy, że funkcje dwóch zmiennych f oraz g mają ciągłe pochodne
( )
cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu x0, y0 .
( )
Wówczas istnieje liczba 0 taka, że:
ńł Lx x0, y0,0 = 0,
( )
�ł
Ly x0, y0,0 = 0,
( )
�ł
�ł
g x0, y0 = 0.
( )
ół
Twierdzenie 10. (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego)
Załóżmy, że funkcje dwóch zmiennych f oraz g mają ciągłe pochodne cząstkowe
pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu x0, y0 oraz niech liczby x0, y0 oraz 0
( )
spełniają układ równań:
ńł Lx x0, y0,0 = 0,
( )
�ł
Ly x0, y0,0 = 0,
( )
�ł
�ł
g x0, y0 = 0,
( )
ół
gdzie L x, y, = f x, y + g x, y jest funkcją Lagrange`a.
( ) ( ) ( )
Oznaczmy przez det H x0, y0,0 wyznacznik stopnia trzeciego (zwany hesjanem
( )
obramowanym) postaci:
0 gx (x0, y0) gy (x0, y0)
det H x0, y0,0 = gx (x0, y0 ) Lxx (x0, y0,0) Lxy (x0, y0,0) .
( )
gy (x0, y0) Lyx (x0, y0,0) Lyy (x0, y0,0)
1. Jeżeli det H x0, y0,0 > 0 , to funkcja f ma w punkcie x0, y0 maksimum warunkowe
( ) ( )
z warunkiem g x, y = 0 .
( )
2. Jeżeli det H x0, y0,0 < 0 , to funkcja f ma w punkcie x0, y0 minimum warunkowe
( ) ( )
z warunkiem g x, y = 0 .
( )
239
Uwaga.
Ekstremum warunkowe funkcji f formułuje się także przy warunku g x, y = c . Wówczas
( )
funkcja Lagrange`a ma postać : L x, y, = f x, y + �łc - g x, y łł . Nie zmienia to jednak
( ) ( ) ( )�ł
�ł
warunków koniecznych i dostatecznych ekstremum warunkowego.
Mnożnik oraz stała c w tym przypadku mają pewne interpretacje ekonomiczne .
Algorytm znajdowania ekstremów warunkowych metodą mnożników nieoznaczonych
Lagrange`a.
1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji f przy warunku g x, y = 0 .
( )
2. Tworzymy funkcję Lagrange`a : L x, y, = f x, y + g x, y .
( ) ( ) ( )
3. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji L .
4. Rozwiązujemy układ równań:
ńł Lx x, y, = 0,
( )
�ł
Ly x, y, = 0,
( )
�ł
�ł
g x, y = 0.
( )
ół
5. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji L oraz pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu funkcji g i tworzymy wyznacznik det H x, y, .
( )
6. Badamy znak wyznacznika det H x, y, dla rozwiązań układu z punktu 4:
( )
a) jeżeli det H x0, y0,0 > 0 , to funkcja f ma w punkcie x0, y0 maksimum
( ) ( )
warunkowe z warunkiem g x, y = 0 .
( )
b) jeżeli det H x0, y0,0 < 0 , to funkcja f ma w punkcie x0, y0 minimum
( ) ( )
warunkowe z warunkiem g x, y = 0 .
( )
7. Obliczamy wartości funkcji f w punktach, w których występuje ekstremum.
Przykład 10.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach stosując metodę
mnożników Lagarange`a:
a) f x, y = x + 2y przy warunku g x, y = x2 + y2 - 5 = 0 ;
( ) ( )
b) f x, y = x2 - 2x - y2 +1 przy warunku g x, y = x2 + y2 - 2x - 3 = 0 .
( ) ( )
Rozwiązanie.
a) Dziedziną funkcji f x, y = x + 2y jest R2 . Funkcja Lagrange`a ma postać:
( )
L x, y, = x + 2y + x2 + y2 - 5 .
( )
( )
Lx = 1+ 2x , Ly = 2 + 2y .
ńł Lx x, y, = 0
( )
ńł 1+ 2x = 0
�ł
�ł
Ly x, y, = 0 �! 2 + 2y = 0 .
( )
�ł �ł
�ł �ł
x2 + y2 = 5
g x, y = 0
( )
ół
ół
240
Rozwiązaniem tego układu są następujące trójki liczb:
1 1
x1 = 1 , y1 = 2 , 1 = - oraz x2 = -1 , y2 = -2 , 2 = .
2 2
Obliczamy następnie: Lxx = 2 , Lyy = 2 , Lxy = Lyx = 0 oraz gx = 2x , gy = 2y .
Hesjan obramowany ma postać:
0 gx gy 0 2x 2y
det H x, y, = gx Lxx Lxy = 2x 2 0 .
( )
gy Lyx Lyy 2y 0 2
0 2 4 0 -2 -4
1 1
det H 1,2,- ) -1 0 = 20 > 0 , det H
= 2
( (-1,-2, = -2 1 0 = -20 < 0 .
)
2 2
4 0 -1 -4 0 1
Zatem funkcja f x, y = x + 2y ma w punkcie 1, 2 maksimum warunkowe równe
( ) ( )
fmax = f 1, 2 = 5 a w punkcie
( ) (-1,-2 minimum warunkowe równe fmin = f
) (-1,-2 = -5.
)
b) Dziedziną funkcji f x, y = x2 - 2x - y2 +1 jest R2 . Funkcja Lagrange`a ma postać:
( )
L x, y, = x2 - 2x - y2 + x2 + y2 - 2x - 3 .
( )
( )
Lx = 2x - 2 + (2x - 2) = (2x - 2)(1+ ) , Ly = -2y + 2y .
ńł Lx x, y, = 0
( )
ńł (2x - 2)(1+ ) = 0
�ł
�ł
Ly x, y, = 0 �! - 2y + 2y = 0 .
( )
�ł �ł
�ł �ł
x2 + y2 - 2x - 3 = 0
g x, y = 0
( )
ół
ół
Rozwiązaniem tego układu są następujące trójki liczb:
x1 =1 , y1 = 2 , 1 =1 ; x2 =1 , y2 = -2 , 2 = 1 ; x3 = -1 , y3 = 0 , 3 = -1 ;
x4 = 3 , y4 = 0, 4 = -1.
Obliczamy następnie: Lxx = 2 + 2 , Lyy = 2 , Lxy = Lyx = 0 oraz gx = 2x - 2 , gy = 2y .
Hesjan obramowany ma postać:
0 gx gy 0 2x - 2 2y
det H x, y, = gx Lxx Lxy = 2x - 2 2 + 2 0 .
( )
gy Lyx Lyy 2y 0 2
0 0 4 0 0 4
det H 1, 2,1 = 0 4 0 = -64 < 0 , det H 1, -2,1 = 0 4 0 = -64 < 0 ,
( ) ( )
4 0 2 4 0 2
0 - 4 0 0 4 0
det H -1 = -4 0 0 = 32 > 0 , det H 3,0,-1 = 4 0 0 = 32 > 0 .
(-1,0,
) ( )
0 0 - 2 0 0 - 2
241
Zatem funkcja f x, y = x2 - 2x - y2 +1 ma w punktach 1, 2 oraz 1,-2 minimum
( ) ( ) ( )
warunkowe równe fmin = f 1, 2 = f 1,-2 = -4 a w punktach oraz 3,0 maksimum
( ) ( ) (-1,0
) ( )
warunkowe równe fmax = f
(-1,0 = f 3,0 = 4 .
) ( )
Zadanie 4.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach stosując metodę
mnożników Lagarange`a:
a) f x, y = x + 4y przy warunku g x, y = xy - 4 = 0 ;
( ) ( )
2
b) f x, y = x + y przy warunku g x, y = x2 + y2 - 2 = 0 .
( ) ( ) ( )
Odpowiedzi.
a) fmin = f 4,1 = 8 , fmax = f
( ) (-4,-1 = -8 ;
)
b) fmin = f = f 1,-1 = 0 , fmax = f 1,1 = f
(-1,1
) ( ) ( ) (-1,-1 = 4 .
)
3. Największa i najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych
w obszarze domkniętym
Definicja 13. (najmniejsza i największa wartość funkcji w obszarze domkniętym)
1. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji w obszarze domkniętym A �" Df , jeżeli w
tym obszarze istnieje taki punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość m oraz dla
dowolnego punktu x, y " A zachodzi nierówność
( )
f x, y e" m .
( )
2. Liczba M jest największą wartością funkcji w obszarze domkniętym A �" Df , jeżeli w
tym obszarze istnieje taki punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość M oraz dla
dowolnego punktu x, y " A zachodzi nierówność
( )
f x, y d" M .
( )
Uwaga.
Najmniejszą i największą wartość funkcji w obszarze domkniętym nazywamy ekstremami
globalnymi funkcji f a tym obszarze.
Ich istnienie zapewnia nam twierdzenie 3 (Weierstrassa) str. 101.
Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji w obszarze
domkniętym.
Załóżmy, że funkcja f ma ciągle pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w obszarze
domkniętym A i niech krzywa � będzie brzegiem tego obszaru.
242
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych:
1. Wyznaczamy punkty P1 x1, y1 , P2 x2, y2 ,..., Pk xk , yk " A , w których zerują się
( ) ( ) ( )
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (punkty stacjonarne). Obliczamy wartości funkcji f
w tych punktach: f P1 , f P2 ,..., f Pk .
( ) ( ) ( )
2. Znajdujemy największą i najmniejszą wartość funkcji f na krzywej � będącej brzegiem
tego obszaru (ekstrema warunkowe). Niech te wartości będą osiągnięte w punktach
Q1 , Q2 "� tj. niech f Q1 = min f x, y , f Q2 = max f x, y .
( ) ( ) ( ) ( )
x, y "� x, y "�
( ) ( )
Wówczas:
min f x, y = min f P1 , f P2 ,..., f Pk , f Q1 ,
( ) { ( ) ( ) ( ) ( )
}
x, y "A
( )
max f x, y = max f P1 , f P2 ,..., f Pk , f Q2 .
( ) { ( ) ( ) ( ) ( )
}
x, y "A
( )
Przykład 11.
Wyznaczyć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych obszarach:
a) f x, y = x2 - 2y2 na obszarze A = x, y " R2 : x2 + y2 d" 36 ;
( ) ( )
{ }
b) f x, y = x2 y -8x - 4y na obszarze A = x, y " R2 : x e" 0 '" y e" 0 '" x + y d" 4 .
( ) ( )
{ }
Rozwiązanie
a) Obszar A jest kołem domkniętym o środku w początku układu i promieniu długości 6
(rysunek)
Znajdziemy najpierw punkty we
wnętrzu rozważanego obszaru,
w którym funkcja może mieć
ekstrema. Mamy:
"f
ńł
�ł"x = 2x = 0
�ł
�! x = 0 '" y = 0 ,
�ł"f
�ł
= -4y = 0
�ł"y
ół
(warunek konieczny istnienia ekstremum).
Funkcja f może mieć ekstremum
w punkcie 0,0 " A. Obliczamy wartość funkcji w tym punkcie: f 0,0 = 0 .
( ) ( )
Zbadamy teraz funkcję f na brzegu obszaru A tj. na okręgu x2 + y2 = 36 .
Z równania x2 + y2 = 36 otrzymujemy, że y2 = 36 - x2 . Po wstawieniu do wzoru na funkcję
f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
g x = x2 - 2 36 - x2 = 3x2 - 72, x " -6;6 .
( )
( )
Funkcja kwadratowa g przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie x = 0 , równą g(0) = -72 ,
oraz wartość największą w punktach x = -6 i x = 6 równą g = g 6 = 36
(-6
) ( )
Z porównania otrzymanych wartości w punktach 0,0 ,
( ) (-6,0 , 6,0 , 0, -6 , 0,6
) ( ) ( ) ( )
wynika, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą -72 , (w punktach 0, -6 i 0,6 ),
( ) ( )
a wartość największą równą 36 , (w punktach
(-6,0 i 6,0 ). Ostatecznie:
) ( )
min f x, y = -72 , max f x, y = 36 .
( ) ( )
x, y "A x, y "A
( ) ( )
243
b) Rozważany obszar jest trójkątem o wierzchołkach 0,0 , 0, 4 , 4,0 , (rysunek)
( ) ( ) ( )
Wyznaczymy punkty wewnątrz tego trójkąta,
w których funkcja może mieć ekstremum. Mamy:
"f
ńł
�ł"x = 2xy - 8 = 0,
�ł
�ł"f
�ł
= x2 - 4 = 0.
�ł"y
ół
Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy
dwa punkty: 2, 2 i
( ) (-2,-2 . Zauważmy, że
)
punkt 2, 2 leży na brzegu, a punkt
( ) (-2,-2 poza
)
rozważanym obszarem, czyli żaden z nich nie leży
w jego wnętrzu.
Zbadamy teraz funkcję na brzegu obszaru A . Brzeg składa się z trzech odcinków (zobacz
rysunek). Badanie funkcji na brzegu sprowadza się do analizy tej funkcji na odpowiednich
prostych:
I : y = 0, gdzie 0 d" x d" 4,
II : x = 0, gdzie 0 d" y d" 4,
III : y = 4 - x , gdzie 0 d" x d" 4 .
Mamy zatem:
I : g x = f x,0 = -8x , gdzie 0 d" x d" 4,
( ) ( )
II : h x = f 0, y = -4y , gdzie 0 d" y d" 4,
( ) ( )
III : p x = f x, 4 - x = -x3 + 4x2 - 4x -16 , gdzie 0 d" x d" 4 .
( ) ( )
Ponieważ dwie pierwsze funkcje są liniowe, więc największe i najmniejsze wartości na
końcach przedziału określoności. Mamy zatem trzy punkty, w których funkcja f może mieć
wartości ekstremalne. Są to punkty: 0,0 , 0, 4 , 4,0 . W punktach tych mamy:
( ) ( ) ( )
g 0 = f 0,0 = h 0 = 0 , g 4 = f 4,0 = -32, h 4 = f 0,4 = -16.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
Natomiast dla funkcji p mamy: p x = -3x2 + 8x - 4 . Zatem
( )
2
2
g x = 0 �! - 3x2 + 8x - 4 = 0 �! x = 2 (" x = .
( )
3
Ponieważ wyznaczone powyżej dwa punkty należą do wnętrza przedziału 0;4 , więc
2
funkcja p może przyjmować wartości ekstremalne dla x = , x = 2 oraz na końcach
3
przedziału, czyli dla x = 0 i x = 4. Tym samym funkcja f może mieć wartości
2 10
ekstremalne na prostej III w punktach , , 2, 2 , 0, 4 i 4,0 , przy czym
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2 10 464 5
p = f , = - = -17 , oraz
( ) ( )
3 3 3 27 27
p 2 = f 2, 2 = -16 , p 0 = f 0,4 = -16, p 4 = f 4,0 = -16 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z porównania otrzymanych wartości wynika, że
min f x, y = f 4,0 = -32 , max f x, y = f 0,0 = 0 .
( ) ( ) ( ) ( )
x, y "A x, y "A
( ) ( )
244
Zadanie 5.
Wyznaczyć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych obszarach:
a) f x, y = x4 + y4 na obszarze A = x, y " R2 : x2 + y2 d" 9 ;
( ) ( )
{ }
b) f x, y = xy2 + 4xy - 4x na obszarze A = x, y " R2 : - 3 d" x d" 3'" - 3 d" y d" 0 .
( ) ( )
{ }
c) f x, y = x2 y 4 - x - y na obszarze A = x, y " R2 : x e" 0 '" y e" 0 '" x + y d" 6 .
( ) ( ) ( )
{ }
Odpowiedzi.
a) min f x, y = f 0,0 = 0 , max f x, y = f 0, ą3 = f ą3,0 = 81.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x, y "A x, y "A
( ) ( )
b) min f x, y = f 3, -2 = -24 , max f x, y = f -2 = 24 .
( ) ( ) ( ) (-3,
)
x, y "A x, y "A
( ) ( )
c) min f x, y = f 4, 2 = -64 , max f x, y = f 2,1 = 4 .
( ) ( ) ( ) ( )
x, y "A x, y "A
( ) ( )
VI. Funkcje jednorodne
Definicja 13.
Mówimy, że funkcja f jest jednorodna stopnia ą , jeżeli pomnożenie każdego z jej
argumentów przez stałą t powoduje zmianę wartości funkcji w proporcji tą , to znaczy:
f t x,t y = tą f x, y .
( ) ( )
Uwaga.
Ogólnie rzecz biorąc t może przyjmować dowolną wartość. Aby jednak powyższe równanie
miało sens, punkt t x,t y nie może wykraczać poza dziedzinę funkcji f . Z tego powodu w
( )
zastosowaniach ekonomicznych zwykle zakłada się, że stała t jest dodatnia, ponieważ
większość zmiennych ekonomicznych nie przyjmuje wartości ujemnych.
Twierdzenie 11. (Eulera)
Funkcja f różniczkowalna w obszarze D �" R2 jest jednorodna stopnia ą wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnia warunek
"f "f
x x, y + y x, y = ą f x, y .
( ) ( ) ( )
"x "y
Równość ta nosi nazwę wzoru Eulera.
Liniowa jednorodność.
Funkcje jednorodne stopnia pierwszego nazywamy funkcjami liniowo jednorodnymi.
Oznacza to, że
f t x,t y = t f x, y .
( ) ( )
Zatem zwiększenie wszystkich argumentów (zmiennych niezależnych) t - krotnie zawsze
spowoduje dokładnie t - krotne zwiększenie wartości funkcji.
Uwaga.
Dla funkcji liniowo jednorodnych wzór Eulera ma postać:
245
"f "f
x x, y + y x, y = f x, y .
( ) ( ) ( )
"x "y
Przykład 12.
Zbadać, czy podane funkcje są liniowo jednorodne i czy spełniają związek Eulera.
x
a) f x, y = x3 - xy2 + y3 ; b) f x, y = x �" y ; c) f x, y = .
( ) ( ) ( )
y
Rozwiązanie.
a) Mamy dla dowolnego t > 0
3 2 3
3
f t x,t y = tx - tx �" ty + ty = t3x3 - t3xy2 + t3 y3 = t3 x3 - xy2 + y3 = t f x, y .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Zatem funkcja jest jednorodna stopnia 3.
"f "f
= 3x2 - y2 , = -2xy + 3y2 .
"x "y
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
"f "f
x x, y + y x, y = x 3x2 - y2 + y -2xy + 3y2 = 3x3 - 3xy2 + 3y3 =
( ) ( )
( ) ( )
"x "y
.
= 3 x3 - xy2 + y3 = 3 f x, y .
( )
( )
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera.
b) Mamy dla dowolnego t > 0
f t x,t y = tx ty = t2xy = t xy = t f x, y .
( ) ( )( ) ( )
Zatem funkcja jest jednorodna stopnia 1 czyli jest liniowo jednorodna.
"f y "f x
f x, y = x �" y �! = , = .
( )
"x "y
2 x 2 y
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
"f "f x y y x 1 1
x x, y + y x, y = + = x �" y + x �" y = x y = f x, y .
( ) ( ) ( )
"x "y 2 2
2 x 2 y
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera.
c) Mamy dla dowolnego t > 0
tx x
f t x,t y = = = t0 �" f x, y .
( ) ( )
ty y
Funkcja jest jednorodna stopnia 0.
"f 1 "f x
= , = - .
"x y "y y2
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
"f "f 1 �ł �ł
x
x x, y + y x, y = x + y - = 0 = 0�" f x, y .
( ) ( ) ( )
�ł �ł
"x "y y y2
�ł łł
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera
246
VII. Funkcje uwikłane
Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych określoną i ciągłą w pewnym obszarze D �" R2 i
niech E będzie zbiorem takich punktów x, y , w których
( )
F x, y = 0 .
( )
Niech punkt x0, y0 " E . Powstaje ważne dla zastosowań pytanie: kiedy przez punkt
( )
x0, y0 przechodzi krzywa ciągła o równaniu
( )
y = y x ,
( )
której wszystkie punkty należą do zbioru E ? Jeżeli taka krzywa istnieje, to jedna czy więcej?
Możemy więc wypowiedzieć następującą definicję.
Definicja 14. (funkcje uwikłane)
Funkcją uwikłaną określoną przez warunek F x, y = 0 nazywamy każdą funkcję y = y x
( ) ( )
spełniającą równość F x, y(x) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziału I , lub każdą
( )
funkcję x = x y spełniającą równość F x(y), y = 0 dla wszystkich y z pewnego
( ) ( )
przedziału J .
Uwaga.
Funkcję y x spełniającą warunek F x, y(x) = 0 nazywamy elementem funkcji uwikłanej
( ) ( )
zmiennej x , albo rozwiązaniem równania F x, y = 0 względem zmiennej y w otoczeniu
( )
punktu x0, y0 .
( )
Rys.8 Funkcje uwikłane y = y(x) oraz x = x(y) określone warunkiem F(x, y) = 0 .
Odpowiedz na postawione pytanie daje nam następujące twierdzenie.
Twierdzenie 12. ( o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w otoczeniu punktu
x0, y0 oraz niech spełnia warunki:
( )
1. F x0, y0 = 0 ,
( )
"F
2. x0, y0 `" 0 .
( )
"y
247
Wtedy w pewnym otoczeniu O x0 punktu x0 istnieje jednoznacznie określona funkcja
( )
uwikłana y = y x spełniająca warunki:
( )
a) y x0 = y0 ,
( )
"F
x, y(x)
( )
"x
2
b) y x = - dla każdego x "O x0 .
( ) ( )
"F
x, y(x)
( )
"y
Uwaga.
Jeżeli ponadto funkcja F ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu
x0, y0 , to funkcja uwikłana y = y x jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym
( ) ( )
otoczeniu punktu x0 i jej druga pochodna wyraża się wzorem:
FxxFy2 - 2FxyFxFy + FyyFx2
2 2
y = - .
Fy3
Rys.9 Ilustracja do twierdzenia o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej
Przykład 13.
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych postaci y = y x określonych
( )
podanymi równaniami w otoczeniu wskazanych punktów:
a) x2 y + xy2 - 2 = 0, x0, y0 = 1,1 ; b) ex + ey - xy - 2 = 0 , x0, y0 = 0,0 .
( ) ( ) ( ) ( )
Rozwiązanie.
a) Niech F x, y = x2 y + xy2 - 2. Obliczmy kolejno: Fx = 2xy + y2, Fy = x2 + 2xy ,
( )
Fxx = 2y , Fyy = 2x, Fxy = 2x + 2y . Ponieważ Fy 1,1 = 3 `" 0 , więc w otoczeniu punktu
( )
1,1 istnieje funkcja uwikłana postaci y = y x .
( ) ( )
Fx 2xy + y2 3
2 2
y = - = - i dla x = 1, y = 1 y 1 = - = -1.
( )
Fy x2 + 2xy 3
FxxFy2 - 2FxyFxFy + FyyFx2
2 2
y = - =
Fy3
2 2
2y x2 + 2xy - 2 2x + 2y 2x + y2 x2 + 2xy + 2x 2xy + y2
( )
( ) ( )( ) ( )
= .
3
x2 + 2xy
( )
248
54
2 2
Dla x = 1, y = 1 y 1 = - = -2.
( )
27
b) Niech F x, y = ex + ey - xy - 2. Obliczmy kolejno: Fx = ex - y, Fy = ey - x ,
( )
Fxx = ex , Fyy = ey , Fxy = -1. Ponieważ Fy 0,0 = 1 `" 0 , więc w otoczeniu punktu
( )
0,0 istnieje funkcja uwikłana postaci y = y x .
( ) ( )
Fx ex - y
2 2
y = - = - i dla x = 0, y = 0 y 0 = -1.
( )
Fy ey - x
2 2
ex ey - x - 2ex ex - y ey - x + ey ex - y
FxxFy2 - 2FxyFxFy + FyyFx2 ( ) ( )( ) ( )
2 2
y = - = .
3
Fy3
ey - x
( )
2 2
Dla x = 0, y = 0 y 0 = 0 .
( )
Ekstrema funkcji uwikłanej
Twierdzenie 13. (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu x0, y0
( )
oraz niech spełnia warunki:
1. F x0, y0 = 0 ,
( )
"F "F
2. x0, y0 = 0, x0, y0 `" 0 ,
( ) ( )
"x "y
"2F
x0, y0
( )
"x2
3. A x0, y0 = - `" 0 .
( )
"F
x0, y0
( )
"y
Wtedy funkcja uwikłana y = y x określona przez warunek F x, y = 0 ma w punkcie x0
( ) ( )
ekstremum lokalne i jest to:
minimum, gdy A x0, y0 > 0 albo maksimum, gdy A x0, y0 < 0.
( ) ( )
Uwaga.
Równość
"F / "x x0, y0 = 0
( )
jest warunkiem koniecznym, a nierówność
"2F / "x2 x0, y0 `" 0
( )
warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.
Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci x = x y .
( )
249
Rys.10. Funkcja uwikłana y = y1(x) ma w punkcie x1 maksimum lokalne, a funkcja y = y2 (x) ma
w punkcie x2 minimum lokalne .
Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej
1. Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema lokalne, znajdujemy korzystając
z warunku koniecznego istnienia ekstremum. W tym celu rozwiązujemy układ warunków:
"F "F
F x, y = 0 , x, y = 0, x, y `" 0 .
( ) ( ) ( )
"x "y
2. W otrzymanych punktach x0, y0 sprawdzamy warunek wystarczający istnienia
( )
ekstremum, tj. badamy, czy zachodzi nierówność:
"2F
x0, y0
( )
"x2
A x0, y0 = - `" 0 .
( )
"F
x0, y0
( )
"y
Na podstawie znaku A ustalamy rodzaj ekstremum.
Przykład 14.
Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanych postaci y = y x określonych podanymi
( )
równaniami:
a) x2 + xy + y2 + x - y - 2 = 0 ; b) x3 + y3 - 3xy = 0 .
Rozwiązanie
"F
a) Niech F x, y = x2 + xy + y2 + x - y - 2 . Mamy: = 2x + y +1.
( )
"x
Otrzymujemy układ równań:
ńł
F x, y = x2 + xy + y2 + x - y - 2 = 0,
( )
�ł
�ł"F
= 2x + y +1 = 0.
�ł
ół "x
5 7
Rozwiązaniem tego układu są punkty: x1, y1 = 0, -1 oraz x2, y2 = , . Zatem tylko
( ) ( ) ( ) (- )
3 3
w tych punktach funkcje uwikłane (jeżeli istnieją) mogą mieć ekstremum. Zbadamy teraz, czy
w tych punktach spełniony jest warunek gwarantujący istnienie funkcji uwikłanej.
Mamy
"F
= x + 2y -1.
"y
250
Stwierdzamy, że
"F "F
5 7
0, -1 = -3 `" 0 ,
( ) (- , = 2 `" 0 .
)
3 3
"y "y
5
Zatem w otoczeniach punktów x1 = 0 i x2 = - istnieją funkcje uwikłane. Korzystamy
3
"2F
teraz z warunku dostatecznego. Obliczamy: = 2 , (dla każdego x, y " R2 ), a następnie
( )
"x2
"2F
x, y
( )
"x2 = 2 .
A x, y = -
( )
"F
x + 2y -1
x, y
( )
"y
2
5 7
Mamy: A 0, -1 = - < 0 oraz A , =1 > 0 .
( ) (- )
3 3
3
5
Funkcje uwikłane postaci y = y x mają w punktach x1 = 0 i x2 = - odpowiednio
( )
3
7
maksimum oraz minimum lokalne równe ymax = -1 i ymin = .
3
b) W tym przykładzie mamy do rozwiązania układ równań:
ńł
F x, y = x3 + y3 - 3xy = 0,
( )
�ł
�ł"F
= 3x2 - 3y = 0.
�ł
ół "x
3 3
Rozwiązaniami tego układu są punkty 0,0 , 2, 4 .
( )
( )
"F "F "F
3 3
Ponieważ = 3y2 - 3x , więc 0,0 = 0 oraz 2, 4 = 33 2 `" 0 .
( )
( )
"y "y "y
Zatem jedynym punktem, w którym funkcja uwikłana y = y x określona równaniem
( )
3 3
x3 + y3 - 3xy = 0 istnieje i może mieć ekstremum jest punkt 2, 4 . Ponieważ
( )
"2F
= 6x ,
"x2
więc
"2F
x, y
( )
"x2 = 6x ,
A x, y = -
( )
"F
3y2 - 3x
x, y
( )
"y
63 2
3 3
i A 2, 4 = - = -2 < 0 ,
( )
33 2
3
co oznacza, ze rozważana funkcja uwikłana w punkcie x0 = 2 ma maksimum lokalne
3
równe ymax = 4 .
251
Zadanie 6.
Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanych postaci y = y x określonych podanymi
( )
równaniami:
a) x2 + y2 - xy - 2x + 4y = 0 ; b) (x - y)2 = y + xy - 3x .
Odpowiedzi.
2
a) Rozważana funkcja uwikłana ma w punkcie x1 = maksimum lokalne równe
3
4 2 -4
ymax = - 2 , a w punkcie x2 = - minimum lokalne równe ymin = - 2 .
3 3 3
b) ) Rozważana funkcja uwikłana ma w punkcie x1 = 0 minimum lokalne równe
6 9
ymin =1 , a w punkcie x2 = maksimum lokalne równe ymax = .
5 5
VIII. Wybrane zastosowania ekonomiczne funkcji dwóch
zmiennych
1. Elastyczności cząstkowe
Dla funkcji dwóch zmiennych z = f x, y określamy tzw. elastyczność cząstkową funkcji
( )
w danym punkcie.
Załóżmy, że w ustalonym punkcie x0, y0 dziedziny funkcji f x0, y0 `" 0 .
( ) ( )
1. Elastyczność cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie x0, y0
( )
definiujemy wzorem:
"f x0
Ex f x0, y0 = x0, y0 �" .
( ) ( )
"x f x0, y0
( )
2. Elastyczność cząstkową funkcji f względem zmiennej y definiujemy wzorem:
"f y0
Ey f x0, y0 = x0, y0 �" .
( ) ( )
"y f x0, y0
( )
Uwaga.
Elastyczności cząstkowe podają w przybliżeniu procentowy przyrost (wzrost lub spadek)
wartości funkcji f gdy odpowiednia zmienna wzrośnie o 1% przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
Przykład 15.
Powróćmy do przykładu 2, w którym podana jest funkcja produkcji Cobba Douglasa. Ma
ona postać:
ą
Y = AK L�, A,ą,� > 0 ,
252
gdzie: Y - wielkość produkcji, K - wartość kapitału, L - zatrudnienie (kapitał ludzki),
A - stała dodatnia. Jest ona szczególnym przypadkiem funkcji produkcji w postaci ogólnej:
Y = Y K, L ,
( )
gdzie, tak jak poprzednio Y - produkcja , K - kapitał, L - zatrudnienie.
Omówimy teraz kilka interesujących własności tej funkcji.
"Y
1. Pochodna cząstkowa , (przy stałym zatrudnieniu L ) , określa prędkość zmian w
"K
produkcji odpowiadającą dowolnie małym zmianom kapitału, podczas gdy zatrudnienie jest
stałe
"Y
Zatem , (przy stałym zatrudnieniu L ) , określa funkcję krańcowej (marginalnej) zmiany
"K
produkcji Y względem kapitału K , czyli krańcową produkcyjność kapitału.
"Y
Podobnie pochodna cząstkowa , (przy stałym kapitale K ) , określa prędkość zmian w
"L
produkcji odpowiadającą dowolnie małym zmianom zatrudnienia, podczas gdy kapitał jest
stały.
"Y
Zatem (przy stałym kapitale K ) określa funkcję krańcowej (marginalnej) zmiany
"L
produkcji Y względem zatrudnienia L , czyli krańcową wydajność pracy.
ą
Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa Y = AK L�
- krańcowa produkcyjność kapitału jest równa
"Y
ą-1
= ą �" A�" K �" L� ,
"K
- krańcowa wydajność pracy jest równa
"Y
ą
= ��" A�" K �" L�-1.
"L
2. Zbadamy teraz jednorodność funkcji produkcji Cobba-Douglasa .
Dla dowolnego t > 0
ą �
ą
Y tK,tL = A�" tK �" tL = tą+� �" AK L� = tą+�Y K, L .
( ) ( ) ( ) ( )
Zatem funcja ta jest jednorodna stopnia ą + � .
a) Jeżeli ą + � < 1, to funkcja produkcji wskazuje malejące efekty skali.
b) Jeżeli ą + � = 1, to funkcja produkcji jest liniowo jednorodna. Oznacza to, że w tym
przypadku, zwiększenie kapitału i zatrudnienia t - krotnie spowoduje dokładnie t - krotne
zwiększenie wartości produkcji. Mówimy w tym przypadku o stałych efektach skali.
c) Jeżeli ą + � > 1, to funkcja produkcji wskazuje rosnące efekty skali.
3. Obliczymy teraz elastyczności cząstkowe funkcji produkcji Cobba-Douglasa w dowolnym
punkcie K, L . Mamy:
( )
"Y K K
EKY K, L = K, L �" = ąAKą-1L� �" = ą ,
( ) ( )
ą
"K Y K, L AK L�
( )
"Y L L
ELY K, L = K, L �" = �AKąL�-1 �" = � ,.
( ) ( )
ą
"L Y K, L AK L�
( )
Oznacza to, ze elastyczności cząstkowe produkcji względem kapitału i względem wielkości
zatrudnienia są wielkościami stałymi.
253
Przykład 16.
Funkcja produkcji Y wyrażasię za pomocą funkcji Cobba-Douglasa majacej postać:
0,25
Y = 520�" K L0,5 .
Obliczyć krańcową produkcyjność kapitału i krańcową wydajność pracy dla K = K0 =16
oraz dla L = L0 = 81.
Rozwiązanie.
- krańcowa produkcyjność kapitału jest równa
"Y -0,75 0,5
ą-1
16,81 = ą �" A�" K �" L� = 0, 25�"520�" 16 81 = 146, 25 ,
( ) ( ) ( )
"K
- krańcowa wydajność pracy jest równa
"Y 0,25 -0,5
ą
16,81 = ��" A�" K �" L�-1 = 0,5�"520�" 16 81 = 57,77 .
( ) ( ) ( )
"L
2. Ekonomiczne wykorzystanie ekstremum warunkowego
1. Załóżmy, że do wyprodukowania Y jednostek towaru jest wykorzystywane x jednostek
kapitału oraz y jednostek siły roboczej. Funkcja produkcji Y = Y x, y wyrażona jest
( )
wzorem Cobba-Douglasa :
ą
Y = Ax y1-ą, A > 0, 0 < ą < 1.
Załóżmy, że każda jednostka kapitału kosztuje p1 zł a każda jednostka siły roboczej p2 zł.
Załóżmy dalej, ze całkowita wartość kosztów zaangażowanych w produkcję wynosi M tj.
p1x + p2 y = M (zł.). Jaka wielkość kapitału oraz siły roboczej maksymalizuje produkcję?
Rozwiązać ten problem, gdy Y = x0,2 y0,8 , p1 =10, p2 = 20, M = 5000 .
Rozwiązanie
Należy wyznczyć ekstremum warunkowe funkcji produkcji Y = x0,2 y0,8 przy warunku
g x, y =10x + 20y - 5000 = 0 .
( )
Funkcja Lagrange`a ma postać:
L x, y, = x0,2 y0,8 + 10x + 20y - 5000
( ) ( )
Warunek konieczny ekstremum:
ńł Lx x, y, = 0 ńł
( ) Lx = 0, 2x-0,8 y0,8 +10 = 0
�ł �ł
Ly x, y, = 0 �! Ly = 0,8x0,2 y-0,2 + 20 = 0
( )
�ł �ł
�ł �ł
10x + 20y = 5000
g x, y = 0
( )
ół ół
Wyznaczamy z dwóch pierwszych równań :
1
= - x-0,8 y0,8
50
oraz
1
= - x0,2 y-0,2 .
25
Porównując te wielkości otrzymujemy
254
1 1
- x-0,8 y0,8 = - x0,2 y-0,2
50 25
Wynika stąd, że y = 2x .
Wstawiając otrzymane y do równania g x, y = 0 otrzymujemy x = 100 i y = 2x = 200
( )
5
1 16
oraz = - = - .
50
255 2
Sprawdzamy warunek dostateczny ekstremum w punkcie 100,200 .
( )
Mamy:
gx =10 , gy = 20 , Lxx = -0,16x-1,8 y0,8, Lxy = 0,16x-0,8 y-0,2, Lxx = -0,16x0,2 y-1,2 oraz
5 5
Lxx 100, 200 = -0,0016�" 16 , Lxy 100, 200 = 0,0008�" 16 ,
( ) ( )
Lyy 100, 200 = -0,00045 16 .
( )
Hesja obramowany, w tym przypadku, ma postać:
10 20
0 gx gy 0
5
16 5
det H 100, 200,- = gx Lxx Lxy = 10 -0,00165 16 0,00085 16 = 16 > 0 ,
( )
50
gy Lyx Lyy 20 0.00085 16 -0,00045 16
a to oznacza, że w punkcie 100,200 funkcja podukcji ma maksimum równe
( )
0,2 0,8
Ymax = Y 100, 200 = 100 200 = 1005 16 .
( ) ( ) ( )
2. Konsument może wydać 1280 zł na dwa dobra A i B , która kosztują odpowiednio12 zł
i 16 zł za jednostkę. Jego funkcja użyteczności, jak ceni sobie x jednostek dobra A i y
jednostek dobra B , dana jest wzorem
U x, y = x0,8 y0,2 .
( )
Jaka liczba jednostek dobra A oraz jednostek dobra B maksymalizuje użyteczność U x, y
( )
przy ograniczeniu budżetowym:
12x +16y = 1280 .
Zastosować metodę Lagrange`a .
Rozwiązanie
Funkcja Lagrange`a ma postać:
L x, y, = x0,75 y0,25 + 12x +16y -1280 ,
( ) ( )
g x, y =12x +16y -1280 .
( )
ńł Lx x, y, = 0 ńł
( ) Lx = 0,75x-0,25 y0,25 +12 = 0
�ł �ł
Ly x, y, = 0 �! Ly = 0, 25x0,75 y-0,75 +16 = 0
( )
�ł �ł
�ł �ł
12x +16y -1280 = 0.
g x, y = 0
( )
ół ół
Wyznaczamy z dwóch pierwszych równań :
1
= - x-0,25 y0,25
16
255
oraz
1
= - x0,75 y-0,75 .
64
Porównując te wielkości otrzymujemy
1 1
- x-0,25 y0,25 = - x0,75 y-0,75 .
16 64
Wynika stąd, że
4
1 20 2
x = 4y oraz = - �" = - .
4
16 32
80
Wstawiając otrzymane x do równania g x, y = 0 otrzymujemy y = 20 i x = 4y = 80
( )
4
1 20 2
oraz = - �" = - .
4
16 32
80
Sprawdzamy warunek dostateczny ekstremum w punkcie 80, 20 .
( )
Mamy:
3 3 3
gx =12 , gy = 16 , Lxx = - x-1,25 y0,25, Lxy = x-0,25 y-0,75, Lxx = - x0,75 y-1,75 oraz
16 16 16
4
3 20 3 2 3 1 1 3 2
Lxx 80, 20 = - �" = - , Lxy 80, 20 = �" �" = - ,
( ) ( )
4
4 4
16 16
80
805 2560 203 640
4
3 803 3 2
Lyy 80, 20 = - �" = - .
( )
4
16
207 160
Hesja obramowany, w tym przypadku ma postać:
0 gx gy 0 12 16
48 2
2 3 2 3 2
det H 80, 20, - = gx Lxx Lxy = 12 - = > 0 ,
( )
32 2560 640
10
gy Lyx Lyy 16 3 2 - 3 2
640 160
A to oznacza, że w punkcie 80, 20 funkcja użyteczności ma maksimum równe
( )
0,75 0,25 0,75 0,25 0,75 0,25
Umax = U 80, 20 = 80 20 = 20�" 4 20 = 40,75 �" 20 �" 20 =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
4
= 43 �" 200,75+0,25 = 16�" 4 �" 20 = 24 4 �" 20 = 40 2.
3. Metoda najmniejszych kwadratów
Za pomocą rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych można wyznaczyć tzw. krzywe
regresji, często używane w statystyce i ekonometrii. Metoda najmniejszych kwadratów
(MNK) polega na wyznaczeniu współczynników funkcji, którą przyjmujemy jako
dopasowanie do danych empirycznych ( punktów obserwacji).
Załóżmy, że danych jest n punktów (obserwacji) xi, yi , i = 1, 2,..., n . W naszych
( )
rozważaniach zajmiemy się dopasowaniem do tych punktów funkcji liniowej y = ax + b .
Oznaczmy przez wi = axi + b . Liczby wi nazywamy wartościami teoretycznymi zmiennej y .
256
Idea tej metody polega na wyznaczeniu wartości a,b tak, aby suma kwadratów odchyleń
zaobserwowanych wartości yi od jej wartości teoretycznych wi była najmniejsza. Warunek
ten zapisujemy następująco:
n
2
yi - wi �ł�ł min.

( )
"
i=1
Rys. 11. Interpretacja MNK dla regresji liniowej
Zanim wyprowadzimy wzory na współczynniki funkcji regresji, podamy pewne właności
znaku sumy i średniej arytmetycznej.
Załóżmy, że x1, x2,..., xn są liczbami rzeczywistymi.. Wówczas sumę tych liczb zapisujemy
za pomocą znaku sumy (sigma) w następująy sposób:
"
n
x1 + x2 + ..+ xn = xi
"
i=1
i czytamy sigma od i równego 1 do n . Liczba i jest tzw. wskaznikiem sumacyjnym i
może być oznaczona inną literą np. k , j itp. , i = 1 - dolna granica sumowania, n - górna
granica sumowania.
Dolna granica sumowania może być dowolnie ustaloną liczbą całkowitą. Górna granica nie
może być mniejsza od dolnej.
Symbol sumy ma następujące własności:
n n n
1) xi + yi = + yi .
( )
" "xi "
i=1 i=1 i=1
Istotnie
n
xi + yi = x1 + y1 + x2 + y2 + ...+ xn + yn = x1 + x2 + ..+ xn + y1 + y2 + ..+ yn =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"
i=1
n n
= + yi.
"xi "
i=1 i=1
n n
2) �" xi = c xi ( stałą można wyłączyć przed znak sumy).
"c "
i=1 i=1
n n
Istotnie �" xi = c �" x1 + c �" x2 + ...+ c �" xn = c �" x1 + x2 + ...+ xn = c xi .
( )
"c "
i=1 i=1
257
n
3) = c + c + ...+ c = c �" n .
"c
i=1
n- razy
Średnią arytmetyczną liczb x1, x2,..., xn nazywamy liczbę
n
1 1
x = x1 + x2 + ..+ xn = xi .
( )
"
n n
i=1
Wynika stad, że
n
x1 + x2 + ..+ xn = xi = n �" x .
"
i=1
Udowodnimy teraz trzy interesujące własności średniej arytmetycznej:
n
1) xi - x = 0 ;
( )
"
i=1
n n
2
2
2) xi - x = xi2 - n �" x .
( )
" "
i=1 i=1
n n
3) xi - x yi - y = xi yi - n �" x �" y.
( )( )
" "
i=1 i=1
Dowód.
n
1) xi - x = x1 - x + x2 - x + ...+ xn - x = x1 + x2 + ...+ xn - n �" x = n �" x - n �" x = 0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"
i=1
n n n n n
2
2 2
2) xi - x = xi2 - 2xix + x = xi2 - 2x xi + =
( )
( )
" " " " "x
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n
2 2 2 2
= xi2 - 2x n �" x + n �" x = xi2 - 2n �" x + n �" x = xi2 - n �" x .
( )
" " "
i=1 i=1 i=1
n n n n n
3) xi - x yi - y = xi yi - xyi - yxi + x �" y = xi yi - x yi - y xi + n �" x �" y =
( )( ) ( )
" " " " "
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n
= yi - x n �" y y n �" x + n �" x �" y = xi yi - 2n �" x �" y + n �" x �" y = xi yi - n �" x �" y.
( )- ( )
"xi " "
i=1 i=1 i=1
Wyprowadzenie wzorów na współczynniki funkcji regresji
Oznaczmy przez S a,b funkcję zmiennych a,b postaci:
( )
n n
2 2
S a,b = yi - wi = yi - axi - b .
( ) ( ) ( )
" "
i=1 i=1
Naszym zadaniem jest wyznaczyć minimum tej funkcji.
Z warunku koniecznego ekstremum wynika, że
"S
ńł
a,b = 0,
( )
�ł
�ł
"a
�ł
"S
�ł
a,b = 0.
( )
�ł
ół "b
Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy funkcji i funkcji złożonej, mamy:
n n n n n
"S " �ł 2 �ł
2
= yi
( - axi - b = -2 yi - axi - b xi = 2a + 2b - 2 yi ,
) ( )
" " "xi "xi "xi
�ł �ł
"a "a
�ł i=1 łł i=1 i=1 i=1 i=1
258
n n n n
"S " �ł 2 �ł
= yi
( - axi - b = -2 yi - axi - b = 2a + 2nb - 2 yi .
) ( )
" " "xi "
�ł �ł
"b "b
�ł i=1 łł i=1 i=1 i=1
i
Otrzymujemu układ równań normalnych:
n n n
ńł
2
a + b - xi yi = 0,
"xi "xi "
�ł
�ł
i=1 i=1 i=1
�ł
n n
�ł
a + nb - yi = 0.
"xi "
�ł
ół i=1 i=1
Rozwiązaniem tego układu są liczby:
n n
yi - nx �" y - x yi - y
)( )
"xi "(xi
n n
1 1
i=1 i=1
a = = , b = yi - a xi = y - ax ,
" "
n n
2 2
n n
2
i=1 i=1
- n x - x
( ) )
"xi "(xi
i=1 i=1
gdzie x , y są średnimi arytmetycznymi z obserwacji.
Aby sprawdzić warunek dostateczny, obliczamy:
n n
"2S "2S "2S
2
a,b = 2 , a,b = 2n , a,b = 2 = 2nx ,
( ) ( ) ( )
"xi "xi
"a2 "b2 "a"b
i=1 i=1
a następnie
"2S "2S
n
2
n n
2 2nx
�ł �ł 2
"a2 "a"b "xi
2
W a,b = = = 4n�ł 2 - nx = 4n - x > 0.
( ) )
i=1 "xi "(xi
�ł
"2S "2S
�ł i=1 łł i=1
2nx 2n
"b"a "b2
Ponieważ
n
"2S
2
a,b = 2 > 0 oraz W a,b > 0 , więc otrzymane stałe a i b minimalizują
( ) ( )
"xi
"a2
i=1
funkcję S a,b .
( )
Uwaga
Metodę najmniejszych kwadratów możemy także stosować w regresji nieliniowej, tzn. w
sytuacji, gdy funkcja, którą chcemy dopasować do danych, nie jest liniowa np. jest
wielomianem, funkcją wykładniczą, funkcją logarytmiczną itp.
Przykład 17.
W poniższej tabeli zestawiono wielkość produkcji pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych
latach:
1 2 3 4
lata xi
( )
2 3,5 5 5
produkcja yi
( )
259
Za pomocą MNK wyznaczyć funkcję trendu liniowego y = ax + b , która najlepiej
dopasowuje się do danych empirycznych.
Rozwiązanie
Korzystamy z wyprowadzonych wzorów.
x1 =1 , x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4 oraz y1 = 2 , y2 = 3,5 , y3 = 5 , y4 = 5 .
4
1 1 10
Średnia arytmetyczna x = xi = 1+ 2 + 3 + 4 = = 2,5 .
( )
"
4 4 4
i=1
4
1 1
Średnia arytmetyczna y = yi = 2 + 3,5 + 5 + 5 = 3,875 .
( )
"
4 4
i=1
4 4
xi2 = 12 + 22 + 33 + 42 = 30 , xi yi = 1�"2 + 2�"3,5 + 3�"5 + 4�"5 = 44 .
" "
i=1 i=1
Zatem
4
yi - nx �" y
"xi
44 - 4�" 2,5�"3,875 5, 25
i=1
a = = = = 1,05 , b = y - ax = 3,875 -1,05�" 2,5 = 1, 25 .
4 2
2
5
2 30 - 4�" 2,5
( )
- n x
( )
"xi
i=1
Poszukiwana funkcja liniowa regresji ma postać : y = 1,05x +1, 25 .
260
BIBLOGRAFIA
1. Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2. Gawinecki J. , Matematyka dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa
w Warszawie, 2000.
3. Gewert M. , Skoczylas Algebra liniowa 1, Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,1999.
4. Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
5. Mostowski A., Stark M. , Elementy algebry wyższej, PWN . Warszawa , 1968,
(lub wydania pózniejsze)
Opracował: dr Franciszek Bogowski
261

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2009 2010 rejon
2009 2010 rejon klucz
Andragogika plan zajŕŠ 2009 2010
Nefrologia 2009 2010
LAB miesny 2009 2010 2011 druk3
2009 2010 Statement of Profit and Loss
Barwy ze soca s± (etap I, edycja 2009 2010)
matematyczny test gimnazjalny z 2009 roku (15 stron)
Zdania domowe zad 1 2009 2010
egzamin tz z 2009 2010
Egzamin 2009 2010 giełda
PSYCHOLOGIA WĄTPIENIA I ATEIZMU SYLABUS 2009 2010
LAB mleczarstwo 2009 2010 2011 druk2
2009 2010 wojewódzki
Pytania 2009 2010
Wstęp do psychologii 2009 2010 [sylabus]

więcej podobnych podstron