CPS 1 2006/2007
PRÓBKOWANIE RÓWNOMIERNE
Próbkowanie równomierne, Ujest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie
ciągłym) do postaci próbekU pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie
przeprowadza się poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C)
sygnału ciągłego. Na jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych.
Sygnał analogowy można próbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać
pytanie, na ile dobrze te wartości reprezentują sygnał oryginalny. Odpowiedz
na to pytanie daje
Uteoria próbkowania.
UProces konwersji analogowo-cyfrowej można podzielić na trzy podstawowe etapy:
" filtrowanie antyaliasingowe
" próbkowanie
" pamiętanie
przetwornik A/C
filtr
próbkowanie pamiętanie
antyaliasingowy
wejściowy przefiltrowany
sygnał sygnał
sygnał sygnał
dyskretny cyfrowy
analogowy analogowy
CPS 2 2006/2007
UFiltrowanie antyaliasingowe
Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo
szerokie. Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest
w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału.
Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm
powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału.
sygnał
szum
szum
f
-B B
f
-2fp -fp -B 0 fp 2fp
B
Na rys. pokazano widmo ciągłe sygnału o szerokości pasma B zawierającego szum oraz
efekt nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku próbkowania przebiegu. UTaki efekt
zniekształcenia widma występuje w wyniku braku filtru antyaliasingowego.U
CPS 3 2006/2007
charakterystyka filtru
szum
antyaliasingowego
szum
f
-B B
f
-2fp -fp -B 0 fp 2fp
B
Rysunek przedstawia przypadek zastosowania filtru analogowego dolnoprzepustowego o
częstotliwości odcięcia równej B przy częstotliwości próbkowania fB
p.
Zastosowanie filtru analogowego dolnoprzepustowego pozwala unikać nakładania się
widm.
U PróbkowanieU:
Pytanie:
Czy znając jedynie zbiór próbek sygnału f[n] : n=...,-2,-1,0,1,2,3,... oddalonych o
przedział próbkowania TB B możemy dokładnie odtworzyć sygnał analogowy ?
p
Inaczej mówiąc czy dysponujemy informacją o zachowaniu się sygnału między danymi
próbkami ?
CPS 4 2006/2007
Odpowiedz
:
W ogólnym przepadku NIE ! (jest to oczywiste)
UAle:
Jeżeli jednak sygnał próbkowany spełniałby pewien dodatkowy warunek odpowiedz

może brzmieć TAK!
Ten dodatkowy warunek dotyczy szybkości zmian przebiegu, który jeżeli analizujemy
sygnał w dziedzinie częstotliwości jest związany z szerokością pasma sygnału.
Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać to znaczy, że nie zawiera składowych o
dużych częstotliwościach powyżej częstotliwości B, sygnał ma ograniczone pasmo.
W praktyce termin sygnał o ograniczonym paśmie oznacza jedynie to, że energia
zawarta w sygnale poza zakresem ąB jest poniżej czułości naszego systemu.
Widmo
amplitudowe
f
-B B
CPS 5 2006/2007
UTwierdzenie o próbkowaniu (Shannona)
Niech f(t) będzie sygnałem ciągłym, którego widmo spełnia warunek
1
ograniczonego pasma TP F FPT:
F j� = 0 dla � e" 2Ą B
( )
Zgodnie z kryterium Nyquista, sygnał f(t) można odtworzyć z pełną
dokładnością z jego próbek gdy częstotliwość próbkowania spełnia zależność:
f e" 2B � e" 4Ą B
p p
Częstotliwość B wyznacza szerokość widma sygnału i nazywa się częstotliwością
Nyquista.
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek
przedstawiono na wykresach
Rozpatrzymy trzy różne przypadki wyboru częstotliwości próbkowania:
" f = 2B
p
" f > 2B
p
" f < 2B
p
UOstatni przypadek jest niezgodny z twierdzeniem o próbkowaniuU. Z tak wybranych
próbek nie można odtworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jest nakładanie się
powielanych widm i ich nieodwracalne zniekształcenie.
1
TP PT Widmo nie zawiera dystrybucji w punktach ąB
CPS 6 2006/2007
f = 2B
Jest to przypadek graniczny. Powielane widma  stykają się ze sobą.
p
f(t)
�
F�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
f
t
0
0
d(t)
�
D�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
1
2Ą
f
t
0
0
2B
fp
Tp f = 2B
p
� � �
f *(t)= f (t)�" d(t)
F *�# ś# = F�# ś#" D�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
fp
�
�# ś#
h(t)
H
ś# ź#
2Ą
�# #
1
-2Tp 2Tp
t f
0
0
-3Tp -Tp Tp 3Tp
B
-B
f (t)= h(t)" f *(t)
� � �
�# ś#
F�# ś# = H �" F *�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f = 2B
p
CPS 7 2006/2007
f > 2B
Powielane widma są rozłączne.
p
f(t)
�
F�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
f
t
0
0
2B
d(t)
�
D�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
1
2Ą
f
t
0 2B
0
fp > 2B fp
Tp
� � �
f *(t)= f (t)�" d(t)
F *�# ś# = F�# ś#" D�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
fp
�
�# ś#
h(t)
H
ś# ź#
2Ą
�# #
1
-2Tp 2Tp
t f
0
0
-3Tp -Tp Tp 3Tp
B
-B
f (t)= h(t)" f *(t)
� � �
�# ś#
F�# ś# = H �" F *�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f > 2B
p
CPS 8 2006/2007
f < 2B
Widma nakładają się.
p
f(t)
�
F�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
f
t
0
0
2B
d(t)
�
D�# ś#
ś# ź#
2Ą
2Ą �# #
1
f
t
0
0
2B
f < 2B
p
fp
Tp
� � �
f *(t)= f (t)�" d(t)
F *�# ś# = F�# ś#" D�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
fp
aliasing
�
�# ś#
h(t)
H
ś# ź#
2Ą
�# #
1
-2Tp 2Tp
t f
0
0
-3Tp -Tp Tp 3Tp
B
-B
f (t)= h(t)" f *(t)
� � �
�# ś#
F�# ś# = H �" F *�# ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2Ą 2Ą 2Ą
�# # �# # �# #
f
t
0
0
Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla
f < 2B
p
CPS 9 2006/2007
UPrzykład:
Dany jest ciąg próbek, oraz wiadomo, że reprezentują one wartości
chwilowe pewnego przebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych
odstępach czasu. Zadanie polega na odtworzeniu przebiegu ( wyznaczeniu
jego parametrów  amplitudy i częstotliwości ).
X[0] X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6]
0 0.866 0.866 0 -0.866 -0.866 0
Jeżeli ciąg reprezentuje próbki przebiegu sinusoidalnego to nie można jednoznacznie
określić tego przebiegu jedynie z próbek.
f (t)
0.866
f = 6Hz
p
t
Tp
-0.866
f (t)
1Hz
f > 2 f1
p
t
Tp
T1
f (t)
7Hz
f < 2 f1
p
t
Tp
T1
CPS 10 2006/2007
Wymagana jest dodatkowa informacja.
Jeżeli założymy, że próbkowanie wykonano zgodnie z kryterium Nyquista, to
oryginalnym przebiegiem jest sinusoida o częstotliwości 1Hz.
UZadanie 1:
Ile minimalnie próbek należy pobierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z
twierdzeniem o próbkowaniu ?
Oznaczmy częstotliwość sinusoidy fB B. Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość
1
2
T
próbkowania musi być tak wybrana aby spełniony był warunekTPF FP:
f > 2 f
p 1
Zatem
fp
T1
> 2 n = > 2 nmin = 3
f1 Tp
UOdp: UMinimalna liczba próbek, pobierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wtedy można w
sposób jednoznaczny odtworzyć sinusoidę z próbek.
UZadanie 2:
Sygnał ma ograniczone pasmo do B=1000Hz. Jaką minimalną liczbę próbek należy pobierać
w przedziale czasu T=0.02s, aby można było z tych próbek jednoznacznie odtworzyć przebieg?
Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu
T1
fp e" 2B n = = T1 fp e" T12B
Tp
n e" 0.02 �" 2 �"1000
n e" 40
Odp: Minimalna liczba próbek wynosi 40.
2
TP PT W tym przypadku ponieważ na granicy pasma pojawia się dystrybucja, wymagana jest ostra nierówność.
CPS 11 2006/2007
UPróbkowanieU sygnałów pasmowych
W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których
ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera.
Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe,
jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie
zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika
A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.
Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony
wokół częstotliwości fB B=20kHz.
c
Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w
sygnale ma wartość 22,5kHz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż
45kHz.
�
F�# ś#
ś# ź#
B
2Ą
�# #
=5kHz
f
-fc 0
fc
=20kHz
�
F *�# ś#
ś# ź#
2Ą B
�# #
f = fc -
p
2
f
-fc 0 fc
fp
fp fp fp
=17,5 kHz
Na rysunku pokazano skutki próbkowania tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą,
równą 17,5 kHz.
Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie
zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fB B.
c
Unikamy aliasingu. UOkazuje się żeU Upróbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczneU.
CPS 12 2006/2007
Wyprowadzenie ogólnych zależności dotyczące próbkowania pasmowego.
Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fB B.
c
Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fB B.
p
UMaksymalna częstotliwość próbkowania
Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fB B-B sygnał można próbkować z
c
maksymalną częstotliwością fB B taką że:
p1
mfp1 = 2 fc - B
�
F�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
2 fc - B
0
-fc fc f
fp1
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fB B-B sygnał można próbkować z
c
maksymalną częstotliwością fB
p1,
2 fc - B
fp1 =
m
CPS 13 2006/2007
UMinimalna częstotliwość próbkowania
Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy
dolną granicę częstotliwości próbkowania fB B.
p2
Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fB B+B sygnał można próbkować
c
z minimalną częstotliwością fB B taką że:
p2
m +1 fp2 = 2 fc + B
( )
�
F�# ś#
ś# ź#
2Ą
�# #
2 fc + B
0
f
-fc
fp2
fc
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fB B+B sygnał można próbkować z minimalną
c
częstotliwością fB B
p2,
2 fc + B
fp2 =
m +1
W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania
pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń
2 fc + B 2 fc - B
d" fp d"
m +1 m
przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w
odniesieniu do szerokości pasma sygnału
f e" 2B .
p
CPS 14 2006/2007
UPrzykład:
Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fB B=20kHz.
c
m Maksymalna Minimalna
2 fc - B 2 fc + B Optymalne fB B
p
fp1 = fp2 =
m m +1
1 35,0 kHz 22,5 kHz 22,5 kHz
2 17,5 kHz 15,0 kHz 17,5 kHz
3 11,66 kHz 11,25 kHz 11,25 kHz
4 8,75 kHz 9,0 kHz -
5 7,0 kHz 7,5 kHz -
Jak wynika z tabeli częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż 11,25kHz.
Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia
widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania
błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne.
Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie
sygnału do szerokości pasma
B
f +
c
2
R =
B
Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych
wartości m
CPS 15 2006/2007
m +1 f = 2 f + B
( )
p 2 c
B
f +
c
m +1 f
( )
p 2
2
=
2B B
m +1 fp2
( )
= R ozn: fpmin = fp2
2B
f
2
p min
= R
B m +1
( )
f
p min
B
4
3
2,25
2
R
1 23456789
4,5
Minimalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m
Z wykresu wynika, że Uniezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie
przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnejU (wzrost R).
=0
m
1
=
m
=2
4
=3
=
m
=5
m
m
m
CPS 16 2006/2007
Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną)
otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią
wartością parametru m.
mf = 2 f - B
p1 c
mf
p1
+1 = R f = f
p1 p max
2B
f
2
p max
= R -1
( )
B m
f
p
B
6
4
2
R
strefa zakazana
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Minimalna i maksymalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości
m
Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które
leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy
wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic.
Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością
filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.
m=1
e
i
e
n
w
a
o
w
2
m
o
=
s
k
m
a
b
p
ó
o
r
n
p
l
o
d
3
=
m
4
=
m
CPS 17 2006/2007
UPrzykład:
Wracając do przebiegu przykładowego o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej
fB B=20kHz.
c
5
20 +
2
R == 4.5
5
Z wykresu można odczytać dla tej wartości R, minimalną akceptowalną częstotliwość
próbkowania. Wynosi ona przy m=3 ( powielenia widma ) 2.25B, czyli 11.25kHz co jest
zgodne z wartością wyznaczoną w tabeli.
UZadanie:
Przebieg o szerokości pasma B=200Hz i częstotliwości nośnej fB B=1000Hz.
c
" Jaką minimalną częstotliwość próbkowania można stosować ?
" Czy można stosować częstotliwość próbkowania fB B=400Hz, 1200Hz ?
p
" Jak uwzględnić błąd częstotliwości próbkowania związany z niedokładnością zegara ?
Obliczamy parametr R
200
1000 +
2
R == 5.5
200
Jak wynika z wykresu dla R=5.5 sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością przy
liczbie powieleń widma m=4.
CPS 18 2006/2007
f
p
B
1200Hz
6
4
450Hz
440Hz
2
strefa zakazana R
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5.5
Częstotliwość minimalna dla m=4 wynosi:
2 f + B
c
fpmin =
m +1
2 �"1000 + 200
f == 440Hz
p min 4
4 +1
Częstotliwość maksymalna dla m=4 wynosi:
2 f - B
c
f =
pmax
m
2 �"1000 - 200
f == 450
pmax 4
4
Nie jest możliwe próbkowanie z częstotliwością 400Hz, natomiast możliwe 1200Hz.
1
=
m
2
=
m
3
=
m
4
=
m
CPS 19 2006/2007
f
p
B
"f
6
p
4
2
strefa zakazana R
1 2 3 4 5 6 7 8 9
"B
"fp
"B
Uwzględnienie niedokładności próbkowania oraz marginesu zmian widma sygnału
1
=
m
2
=
m
3
=
m
4
=
m