Oznaczenia Funktory i kwantyfikatory
" <" negacja (zaprzeczenie): <" p (nieprawda, że p)
" (" alternatywa: p (" q (p lub q)
" '" koniunkcja: p '" q (p i q)
" =Ò! implikacja (wynikanie): p =Ò! q (z p wynika q)
" Ð!Ò! równoważność: p Ð!Ò! q (p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p jest równoważne q)
" " kwantyfikator ogólny: "x : Õ(x) (dla każdego x zachodzi Õ(x)) kwantyfikator ten wystÄ™puje także

w zapisie Õ(x)
x
" " kwantyfikator szczegółowy: "x : Õ(x) (istnieje x, że Õ(x)) kwantyfikator ten wystÄ™puje także w

zapisie Õ(x)
x
" " należy: a " A (element a należy do zbioru A)
" " nie należy: a " A (element a nie należy do zbioru A)
/ /
Działania na zbiorach
" ‚" zawieranie (inkluzja): A ‚" B (zbiór A zawarty jest w zbiorze B)
" *" suma zbiorów: x " A *" B Ð!Ò! x " A (" x " B
" )" iloczyn zbiorów (przekrój zbiorów, część wspólna): x " A )" B Ð!Ò! x " A '" x " B
" \ różnica zbiorów: x " A \ B Ð!Ò! x " A '" x " B
/

" dopeÅ‚nienie zbioru: x " A '" A ‚" X Ð!Ò! x " X \ A
" " zbiór pusty
Oznaczenia zbiorów
" Zbiór liczb naturalnych
N = {1, 2, 3, . . .}
" Zbiór liczb całkowitych nieujemnych
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} = N *" {0}
" Zbiór liczb całkowitych
Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
" Zbiór liczb wymiernych

p
Q = : p " Z, q " N
q
" Zbiór liczb rzeczywistych
R
" Zbiór liczb zespolonych
C
Pojęcie funkcji
Niech X, Y sÄ… to dwa niepuste zbiory.
Definicja 1. Mówimy, że f jest funkcją (odwzorowaniem) zbioru X w zbiór Y , jeżeli każdemu elementowi
x zbioru X przyporządkowano dokładnie jeden element y zbioru Y , co zapisujemy:
f : X Y
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df
Zapis
y = f(x), x " X
oznacza wartość y funkcji f w funkcie x
Pojęcie funkcji
Ważne cechy definicji funkcji:
" wszystkie elementy dziedziny Df muszą mieć przyporządkowane elementy ze zbioru Y
" każdemu elementowi x z dziedziny Df musi być przyporządkowany tylko jeden element y ze zbioru
Y
" mogą istnieć y " Y , które nie są przyporządkowane dla żadnego x " Df
Pojęcie funkcji
" Zbiór wszystkich y " Y , które są obrazami w odwzorowaniu f, nazywamy przeciwdziedziną funkcji
f i oznaczamy przez Rf
" Odwzorowanie f : X Y nazywamy  na , jeśli Y = Rf
" Dwa odwzorowania f1 : X1 Y1 i f2 : X2 Y2 nazywamy równymi, jeśli X1 = X1 oraz
"x " X1 = X2 f1(x) = f2(x)
Pojęcie funkcji
Definicja 2. Odwzorowanie f : X Y nazywamy różnowartościowym lub wzajemnie jednoznacznym,
jeżeli różnym elementom zbioru X odpowidają różne elmementy zbioru Y , tzn.
"x1, x2 " X x1 = x2 Ò! f(x1) = f(x2)

Definicja 3. Jeśli f : X Y i g : Y Z, to odwzorowanie h : X Z, określone wzorem
"x " X h(x) = g(f(x))
nazywamy złożeniem (superpozycją) odwzorowań f i g i piszemy h = g ć% f
Pojęcie funkcji
Definicja 4. Jeżeli f : X Y jest odwzorowaniem różnowartościowym, to odwzorowanie
g : Y X
takie że
"x " X "y " Y g(y) = x Ô! f(x) = y
nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do f i zapisujemy g = f-1
Uwaga 1.
(f-1)-1 = f
2
Pojęcie funkcji
Własność 1. Niech f, g : R R będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli g jest funkcją odwrotną do f, to w
prostokątnym układzie współrzędnych XOY wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f w symetrii
osiowej względem prostej y = x.
Pojęcie funkcji
Przykład 1. Niech f : R 2.0 oraz f(x) = x2
R
y= x2
1.5
1.0
y= x
ćą
0.5
0 1 2
-2 -1
Pojęcie funkcji
Definicja 5. Mówimy, że funkcja f : R R jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale (a, b),
jeśli
"x, y " (a, b) : x < y =Ò! f(x) f(y)
(odpowiednio: "x, y " (a, b) : x < y =Ò! f(x) < f(y))
Definicja 6. Mówimy, że funkcja f : R R jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale
(a, b), jeśli
"x, y " (a, b) : x < y =Ò! f(x) f(y)
(odpowiednio: "x, y " (a, b) : x < y =Ò! f(x) > f(y))
Pojęcie funkcji
Definicja 7. Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo
malejÄ…ca.
Definicja 8. Mówimy, że funkcja f : R R jest stała, jeśli
"x1, x2 " X : x1 = x2 =Ò! f(x1) = f(x2)

PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja liniowa
Definicja 9. Niech a, b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję x ax + b nazywamy funkcją
afinicznÄ… (liniowÄ…)
1.5
a 0
1.0
a 0
0.5
2 1 1 2
0.5
a 0
1.0
1.5
3
x
=
y
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja liniowa
Uwaga 2. " Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
" Funkcja f(x) = ax + b jest ściśle rosnąca, gdy a > 0 i ściśle malejąca, gdy a < 0.
" Funkcja afiniczna jest różnowartościowa, gdy a = 0.

" Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcjÄ… afinicznÄ….
" Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja homograficzna
Definicja 10. Niech a, b, c, d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że ad - bc = 0. Funkcję

ax + b
x nazywamy funkcją homograficzną lub  krótko  homografią.
cx + d
Uwaga 3. " Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
" Wykresem funkcji homograficznej f jest prosta (jeśli f jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli f nie jest
afiniczna).
" Funkcja odwrotna do homografii jest homografiÄ….
" Złożenie homografii jest homografią.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Wykres homografii
4
3
2
a
y
c
1
4 2 2
1
2
d
x
c
3
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Wielomian
Definicja 11. Funkcję określoną dla x " R wzorem:
w(x) = anxn + an-1xn+1 + . . . a1x1 + a0, an = 0

nazywamy wielomianem stopnia n (n " N0 = N *" {0}), przy czym liczby an, an-1, . . . , a0 " R nazywamy
współczynnikami tego wielomianu.
Uwaga 4. " Szczególnym przypadkiem wielomianu jest funkcja liniowa y = ax + b oraz funkcja kwa-
dratowa (parabola) y = ax2 + bx + c
" Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
" Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.
4
Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja wykładnicza
Definicja 12. Niech a > 0 będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję x ax określoną na
zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a.
Uwaga 5. " Jeśli a > 0, a = 1, funkcja wykładnicza x ax jest różnowartościowa. Nie zeruje się w

żadnym punkcie swojej dziedziny.
" Jeśli a > 1, funkcja x ax jest ściśle rosnąca, jeśli zaś 0 < a < 1, jest ściśle malejąca.
" Jeśli a = 1, funkcja x ax jest stała.
Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja wykładnicza
4
3
a 1
a 1
2
a 1
1
2 1 0 1 2
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna
Definicja 13. Niech a " (0, 1) *" (1, ") będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności.
FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji x ax nazywamy funkcjÄ… logarytmicznÄ… o podstawie a i oznaczamy x
loga x.
Definicja 14. Symbolem exp x będziemy oznaczać potęgę ex.
Definicja 15. Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej x nazywamy liczbÄ™ ln x = loge x.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna
Uwaga 6. " Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór R+ = (0, +"), a przeciwdziedziną zbiór R.
" Jeśli a > 0, a = 1, funkcja logarytmiczna x loga x jest różnowartościowa.

" Jeśli a > 1, funkcja x loga x jest ściśle rosnąca, jeśli zaś 0 < a < 1, jest ściśle malejąca.
" Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej x loga x jest punkt x = 1.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna
Uwaga 7. " Dla a > 0, x, y " R zachodzą równości:
(ax)y = axy oraz axay = ax+y.
" Dla dodatnich liczb a, b, c, a = 1, c = 1 prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu:

logc b
loga b = ,
logc a
w szczególności, gdy c = e, mamy równość:
ln b
loga b = .
ln a
5
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna
Uwaga 8. " Dla dowolnej liczby b " R i dodatnich a > 0, c > 0 zachodzi równość:
ab = cb logc a,
która w szczególnym przypadku, gdy c = e, ma postać:
ab = exp(b ln a).
Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
3
y ax
2
1
y loga x
2 1 1 2 3
y x
1
2
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna
3
2
a 1
a 1
1
1 1 2 3
1
2
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
6
1
f x sin x
3 
   

2 
2
2 6 3 2
1

Ä„ Ä„
Uwaga 9. Funkcja f(x) = sin x zawężona do przedziału - , jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
2 2
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
1
f x cos x
3 
  

2 
2
6 3 2
1
Uwaga 10. Funkcja f(x) = cos x zawężona do przedziału [0, Ą] jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
3
f x tg x
1
3
3
    
 
2 6 4 3 2
1

Ä„ Ä„
Uwaga 11. Funkcja f(x) = tg x zawężona do przedziału - , jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
2 2
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
3
f x ctg x
1
3
3
    
 
2 6 4 3 2
1
Uwaga 12. Funkcja f(x) = ctg x zawężona do przedziału (0, Ą) jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
7

Ä„ Ä„
Definicja 16. Funkcję określoną na przedziale [-1, 1] o wartościach w przedziale - , , odwrotną
2 2

Ä„ Ä„
do zawężenia funkcji sinus do przedziału - , ,nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem
2 2
x arc sin x.
Definicja 17. Funkcję określoną na przedziale [-1, 1] o wartościach w przedziale [0, Ą], odwrotną do
zawężenia funkcji cosinus do przedziału [0, Ą], nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem x
arc cos x.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne


2
y arccos x
y arcsin x
1

2
y sin x
1
 
1 1
y cos x
2 2


1 1
2
1

2 1
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne

Ä„ Ä„
Definicja 18. Funkcję określoną na przedziale (-", ") o wartościach w przedziale - , , odwrot-
2 2

Ä„ Ä„
ną do zawężenia funkcji tangens do przedziału - , , nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy
2 2
symbolem x arctg x.
Definicja 19. Funkcję określoną na przedziale (-", ") o wartościach w przedziale (0, Ą), odwrotną do
zawężenia funkcji cotangens do przedziału (0, Ą), nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem
x arc ctg x.
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne

y arcctg x

2
y x

2


y tg x
2
 
y ctg x
2 2
y arctg x
y x

2

8
PrzeglÄ…d funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklome-
tryczne
Uwaga 13. " Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami
cyklometrycznymi.
Ä„
" y = arc sin x Ð!Ò! x = sin y, y " -Ä„ , ,
2 2
" y = arc cos x Ð!Ò! x = cos y, y " 0, Ä„ ,

Ä„ Ä„
" y = arc tg x Ð!Ò! x = tg y, y " - , ,
2 2
" y = arc ctg x Ð!Ò! x = ctg y, y " (0, Ä„).
9