Wykład 2
Metody probabilistyczne i statystyka
Funkcje i charakterystyki
zmiennych losowych
Dr Joanna BanaÅ›
Zakład Badań Systemowych
Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych
Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
5. Funkcje zmiennych losowych
g :
Funkcja jest odwzorowaniem borelowskim, jeśli
"B"B ( ) {x " : g(x)" B}"B ( )
(5.1)
X : &!
(5.2) Uwagi
a) Warunkowi (5.1) równoważny jest warunek
Y
g
"y" {x " : g(x) < y}"B ( )
b) Każda funkcja ciągła jest odwzorowaniem borelowskim
(5.3) Twierdzenie
X - zmienna losowa, określona na przestrzeni probabilistycznej (&!, Z , P),
g - dowolna funkcja borelowska
Funkcja , okreÅ›lona wzorem Y = g(X ), tzn. Y (É) = g X (É)
Y : &!
( )
dla É"&!, jest zmiennÄ… losowÄ….
Y = g(X ) - funkcja zmiennej losowej X
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Funkcje zmiennych losowych typu
skokowego
(5.4) Twierdzenie
Jeśli X jest zmienną losową typu skokowego o zbiorze atomów
i rozkładzie i
P(X = xi) = p , i =1,2,..., to Y = g(X )
SX = {x1, x2,...}
SY ={g(x1), g(x2),...}
jest również typu skokowego o zbiorze atomów
i rozkładzie
P(Y = g(xi )) = pk , i =1,2,...
"
{k:g ( xk )=g ( xi )}
(5.5) Przykład
X jest zmienną losową typu skokowego o zbiorze atomów
SX ={-1,0,1}
xi -1 0 1
i rozkładzie
pi 1 1 1
4 2 4
Wyznaczyć rozkład zmiennej
a) Y = 2X +1
2
Y = 2X +1
b)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Funkcje zmiennych losowych typu
ciągłego
(5.6) Twierdzenie
Jeśli X jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości fX
i Y = aX + b (a `" 0) , to zmienna losowa Y
także jest typu ciągłego i jej gęstość określona jest wzorem
y - b
1 ëÅ‚ öÅ‚
fY ( y) = f
X
ìÅ‚ ÷Å‚
| a | a
íÅ‚ Å‚Å‚
(5.5) Przykład
X ma rozkład jednostajny na przedziale )#0,1*#, tzn. funkcja gęstości
określona jest wzorem
1 dla x ")#0,1*#
Å„Å‚
f (x) =
X òÅ‚0 dla x ")#0,1*#
Wyznaczyć rozkład zmiennej ół
f (x)
0 dla x < 0
Å„Å‚
a) Y = 2X +1
1
ôÅ‚1 dla 0 d" x < 1
ôÅ‚
2
b) Y = g(X ), gdzie g(x) =
òÅ‚2 dla 1 d" x <1
2
0 1 2
ôÅ‚
Rys.5.1. Gęstość zmiennej losowej X
ôÅ‚3 dla x e" 1
ół
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
6. Charakterystyki liczbowe zmiennej
losowej
Wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej losowej X,
określonej na przestrzeni probabilistycznej (&!, Z , P), to
wielkość
(6.1) , o ile całka istnieje
EX X (É)dP
+"
&!
(6.2) Własności (wartości oczekiwanej)
a) Ec = c, c "
b) EX < ", EY < ", a,b " Ò! E(aX + bY ) < "
E(aX + bY ) = aEX + bEY
i
c)
X e" 0 i EX = 0 Ò! P(X = 0) = 1 (X = 0 prawie wszÄ™dzie)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Wartość oczekiwana funkcji zmiennej
losowej typu skokowego
(6.3) Twierdzenie
Niech X będzie zmienną losową typu skokowego
o rozkładzie P(X = xi ) = pi dla i =1,2,...
Jeśli g jest funkcją borelowską na taką,
że | g(xi ) | pi < " , to Eg(X ) istnieje oraz
"
i
Eg(X ) = g(xi ) pi
"
i
(6.4) Wnioski
g(x) = x Ò! EX = xi pi
a)
"
i
b) g(x) = x2 Ò! EX = xi2 pi
"
i
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Wartość oczekiwana funkcji zmiennej
losowej typu ciągłego
(6.5) Twierdzenie
Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f.
Jeśli g jest funkcją borelowską na taką, że
"
| g(x) | Å" f (x)dx < " ,
+"
-"
to Eg(X ) istnieje oraz
"
Eg(X ) = g(x)Å" f (x)dx
+"
-"
(6.6) Wnioski
"
g(x) = x Ò! EX = x Å" f (x)dx
a)
+"
-"
"
b) g(x) = x2 Ò! EX = x2 Å" f (x)dx
+"
-"
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Wariancja
Wariancja zmiennej losowej X to liczba
D2X E(X - EX )2
(6.7)
(6.8) Wnioski
a) X - zmienna losowa typu skokowego o rozkładzie
P(X = xi ) = pi dla i =1,2,...
Ò! D2 X = (xi - EX )2 pi
"
i
b) X - zmienna losowa typu ciągłego o gęstości f
"
Ò! D2 X = (x - EX )2 Å" f (x)dx
+"
-"
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Własności wariancji
(6.9) Własności
2
a) D2X = EX - (EX )2
D2 X e" 0
b)
c) D2X = 0 Ô! P(X = EX ) =1
d) D2(aX ) = a2D2X , a "
e)
D2(X + b) = D2X , b"
(6.10) Przykład
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X
xi 0 1
a) o rozkładzie
pi 1 3 Å„Å‚ x -1 dla x ")#1,2)
4 4
ôÅ‚3
f (x) = - x dla x "(2,3*#
b) o funkcji gęstości
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla x ")#1,3*#
ół
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Inne charakterystyki zmiennej losowej
Odchylenie standardowe zmiennej losowej X to
liczba
à D2X
(6.11)
Wartości oczekiwane
k
mk EX , E | X |k , µk E(X - EX )k
to odpowiednio:
a) k-ty moment zwykły
b) k-ty moment absolutny
c) k-ty moment centralny
zmiennej losowej X EX = m, D2 X = µ2
( )
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Inne charakterystyki zmiennej losowej
Kwantyl rzędu p - każda liczba taka, że
xp, p "(0,1)
F(xp ) d" p d" lim F(x)
xx+
p
pi d" p d" pi
tzn. dla zmiennej typu skokowego
" "
xi F(xp ) = p
i dla zmiennej typu ciągłego
1
Mediana - kwantyl rzędu 2
Odchylenie przeciętne od wartości oczekiwanej
d = E | X - EX |
Współczynnik zmienności
Ã
½ = , m `" 0
m
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Inne charakterystyki zmiennej losowej
Współczynnik skośności (asymetrii)
µ3 E(X - EX )3
Å‚ = =
Ã3 Ã3
a) b)
f (x) f (x)
Å‚ > 0 Å‚ < 0
0 x 0 x
Rys.6.1. Asymetria prawostronna (a) i lewostronna (b)
Dominanta (moda)
typ skokowy - wartość xk "{min xi,max xi}
, dla której pk jest maksimum
absolutnym,
typ ciągły - odcięta maksimum absolutnego funkcji gęstości, o ile jest punktem
ciągłości
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Inne charakterystyki zmiennej losowej
Współczynnik skupienia (kurtoza)
µ4 E(X - EX )4
º = =
Ã4 Ã4
f (x)
EX1 = EX = 0
2
1
f1 D2 X1 = D2 X 2
º1 < º2
1
2
f2
1 1
0 1 x
-1 -
2 2
Rys.6.2. Porównanie skupienia dwóch rozkładów
Współczynnik spłaszczenia (eksces)
Rozkład normalny
º = 3 Å‚2 = 0
Å‚2 = º - 3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
7. Wybrane zmienne typu skokowego
(7.1) Rozkład jednopunktowy
xi a
P(X = a) = 1, dla ustalonego a " lub
pi 1
F(x)
Dystrybuanta
1
0 dla x d" a
Å„Å‚
F(x) =
òÅ‚1 dla x > a
a x
0
ół
Rys.7.1. Wykres dystrybuanty
zmiennej losowej X
Parametry
EX = a Å"1 = a
2
EX = a2 Å"1 = a2
D2 X = a2 - a2 = 0
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład 0-1
(7.2) Rozkład 0-1 z parametrem p"(0,1)
xi 0 1
P(X = 1) = p, P(X = 1) = q, q = 1- p lub
pi q p
Dystrybuanta
0 dla x d" 0
Å„Å‚
F(x)
ôÅ‚q dla 0 < x d"1
F(x) =
1
òÅ‚
ôÅ‚1 dla x >1
p
ół
q
Parametry
q
EX = 0 Å" q +1Å" p = p
x
0 1
2
EX = 02 Å" q +12 Å" p = p
Rys.7.2. Wykres dystrybuanty
D2 X = p - p2 = p(1- p) = p Å" q
zmiennej losowej X
Realizacja
1 sukces
Å„Å‚
zmienna losowa X =
n òÅ‚0 gdy w n-tym doÅ›wiadczeniu wystÄ…pi porażka
ół
ma rozkład 0-1 dla każdego n = 1,2,&
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład dwumianowy
(7.3) Rozkład dwumianowy z parametrami n = 1,2,& , p"(0,1)
n
P(X = k) = pkqn-k , k = 0,1,2,...,n, q =1- p
( )
k
Rozkład jest dobrze określony
n
n
pkqn-k = ( p + q)n =1
"
( )
k=0
k
Parametry
EX = n Å" p
D2X = n Å" p Å" q
Własności
(n+1)p - liczba caÅ‚kowita Ò! najbardziej prawdopodobnymi wartoÅ›ciami zmiennej sÄ… liczby
(n+1)p-1 oraz (n+1)p
(n+1)p - liczba niecaÅ‚kowita Ò! najbardziej prawdopodobnÄ… wartoÅ›ciÄ… zmiennej jest liczba
[(n+1)p] ([x] - całość z x)
Realizacja
liczba możliwych sukcesów w schemacie Bernoulli ego
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład geometryczny
(7.4) Rozkład geometryczny z parametrem p"(0,1)
P(X = k) = qk-1 p, k = 1,2,..., q = 1- p
Rozkład jest dobrze określony
n n
1 1
qk-1 p = p Å" qk-1 = p Å" = p Å" =1
" "
k=1 k=1
1- q p
Parametry
1
EX =
p
q
D2 X =
p2
Realizacja
liczba doświadczeń do momentu pierwszego sukcesu
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład Poissona
(7.5) Rozkład Poissona z parametrem  > 0
k
P(X = k) = e-, k = 0,1,2,...
k!
Rozkład jest dobrze określony
" "
k k (M)
e- = e- = e- Å"e = e0 = 1
" "
k=0 k=0
k! k!
z rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina mamy
(k )
" "
f (0)
1
(M)
f (x) = xk i stÄ…d ex = xk
" "
k=0 k=0
k! k!
Parametry
EX = 
D2 X = 
Opracowała Joanna Banaś
Przybliżenie rozkładem Poissona
Twierdzenie
Ciąg rozkładów dwumianowych jest zbieżny do rozkładu
Poissona z parametrem 
Uwaga
n e" 50, p d" 0.1 i n Å" p d" 10
Jeśli , to do celów praktycznych
można przybliżać
k
n
pkqn-k H" e-,  = nÅ" p
( )
k
k!
Realizacja
ze względu na wcześniejszą uwagę liczba możliwych sukcesów
w schemacie Bernoulli ego, przy dużej liczbie doświadczeń i małym
prawdopodobieństwie sukcesu (kontrola jakości)
Wykład 1
Metody probabilistyczne i statystyka
Dziękuję za uwagę
Opracowała Joanna Banaś