LAB1
Zadanie 1
Pewna gra polega na 6-krotnym rzucaniu symetryczną monetą. Wygrywa ta osoba, która uzyska w rzutach
najwięcej orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się w sześciu rzutach samych reszek (zero orłów),
1, 2, 3, 4, 5, 6 orłów? (X - zmienna losowa - określająca liczbę orłów (liczbę sukcesów) w sześciu rzutach
symetrycznÄ… monetÄ…).
n=liczba prób p=prawdopodobieństwo(np.: dla monety p=0,5)
a)rozkład prawdopodobieństwa
k P(X=k) P(X<=k) F(x)=P(XOd 0 do n Rozkład Rozkład P(X<=k) - P(X=k)
rzutów dwumianowy dwumianowy
K N P 0 K N P 1
b) rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanty
k(P(X=k)) i k(F(x)=P(Xc) prawdopodobieństwo otrzymania (np: 1 orła w 6 rzutach monetą = P(X=1))
d)Wartość oczekiwana E(X)=(n*p) wariacja V(X)=(n*p*(1-p))
Zadanie 2
Przemysłowe urządzenie elektryczne na skutek przeciążenia sieci zasilającej wymaga ponownego uruchomienia
średnio 2 razy w ciągu doby, a rozkład liczby ponownych uruchomień może być opisany za pomocą rozkładu
(Poissona).
Lambda=średnia ilość wystąpień w okresie czasu
k P(X=k) P(X<=k) F(x)=P(XOd 0 do n Rozkład Rozkład P(X<=k) - P(X=k)
rzutów Poissona Poissona
K lambda 0 K lambda 1
Prawdopodobieństwo k(P(X=k)) dystrybuanta k(F(x))
Zadanie 3
Zaobserwowano, że 20% sztuk w określonej partii towaru posiada wady. Z partii o liczebności 50 sztuk
pobieramy zależnie (losując bez zwracania) próbę 3 sztuk. Niech zmienną losową X będzie liczba sztuk
wadliwych.
N=liczebność R=ile z wadami n=liczba pobranych p=R/N q=(N-R)/N
k P(X=k) P(X<=k) F(x)=P(XOd 0 do n Rozkład 0=P(X=0) P(X<=k) - P(X=k)
próbek HIPERGEOM 1=P(X=1)+
K n R N P(X<=0)
E(X)=(n*R)/N V(X)=npq(1-n/N)/(1-1/N)
LAB2
Zadanie 1.
Czas oczekiwania na wydruk książki w pewnym wydawnictwie jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w
przedziale [6 miesięcy, 18 miesięcy].
a=6 b=18
x f(x) F(x)
Od 0 do 20 co 0.25 f(x<6)=0 f(x<6)=0
f(6 do 18)=1/(b-a) f(6 do 18)=1/(b-a)
f(x>18)=0 f(x>18)=1
E(x)=(a+b)/2 V(x)=((b-a)^2)/12 Me=(a+b)2
Zadanie 2.
Produkcja kondensatorów w pewnej fabryce jest całkowicie zautomatyzowana. W okresie dwuletniej
obserwacji zauważono, że rozkład czasu między zejściem z taśmy produkcyjnej dwóch kolejnych
kondensatorów można zapisać za pomocą zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym z wartością
oczekiwaną równą 20 sekund (E(X)=20).
E(x)=20=1/lambda V(x)=1/lambda^2 Me=(-ln0.5)/lambda
x f(x) F(x)
Od 0 do 30 co 0.5 ROZKA
AD.EXP ROZKA
AD.EXP
X lambda 0 X lambda 1
P(x<10)=F(10)
Zadanie 3.
Do wypełniania pojemników z olejem transformatorowym wykorzystywany jest automat. Waga oleju w
wypełnionych pojemnikach ma rozkład N (1000g, 50g).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że :
a) waga losowo wybranego wypełnionego pojemnika jest mniejsza niż 0,95 kg,
b) waga losowo wybranego wypełnionego pojemnika przekroczy 1,05 kg .
x f(x) F(x)
Od 0,85 do 1,15 co 0.1 ROZKA
AD.NORMALNY ROZKA
AD.NORMALNY
X 1 0,05 0 X 1 0,05 1
P(x<0,95)=F(0,95)
LAB3
Zad1. Wśród 16 badanych urządzeń pod względem liczby awarii w ciągu jednego tygodnia otrzymano
następujące wyniki (oznaczające ilość awarii jednego urządzenia w ciągu jednego tygodnia): 1, 0, 2, 3, 3, 2, 1,
2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 0, 1. Wyznaczyć szereg rozdzielczy punktowy.
nr. Wariantu(i) wariant(wartość cechy  xi) f. LICZ JEŻELI
liczba klas wariant(wartość liczebność częstość licz. częstość
cechy) Skumulowana skumulowana
Liczba Liczebność/ilość Licz skum+licz. Liczebność
wariantów danych Następnego skumulowana/ilość
wariantu danych
Zad2. Poddano obserwacji miesięczne wydatki (w zł) pewnej grupy studentów studiujących w Rzeszowie,
otrzymując następujące wyniki: 605, 605, 620, 678, 640,& & & & ..637, 636. Przedstawić wynik w postaci
szeregu rozdzielczego. Wykreślić odpowiednie histogramy i diagramy oraz dystrybuanty empiryczne.
-Liczebność próby(n): , wartość min : ; wartość max: ; rozstęp(max  min): ; liczba przedziałów(pierwiastek z n-
liczebność próby): ; rozpiętość(h=rozstęp/liczba przedziałów): ;
nr. Wariantu(i) wariant(wartość cechy  xi) f. LICZ JEŻELI
Liczba Wartość cechy liczebn częstość licz. częstość skumulowana
przedziałów ość Skumulowana
Przedziały= Liczebność/liczebność Licz Liczebność
wart min + próby skum+licz. skumulowana/liczebność
rozpiętość(h) Następnego próby
Np.360-375 wariantu
376-&
Wykresy: - histogram i diagram liczebności y(liczebność) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy
-histogram i diagram częstości  y(częstość) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy
-dystrybuanta empiryczna liczebności y((liczebność skumul.) x(przedziały)
-dystrybuanta empiryczna częstości  y((częstość skumul.) x(przedziały)
Zad3. Wykonano 40 pomiarów rezystancji losowo wybranych rezystorów o rezystancji R=0,4 k&! i otrzymano
następujące wyniki: 360, 378, 369, 387 & & & ..439, 437.
Zbudować szereg rozdzielczy, przyjmując liczbę klas k=8. Wykreślić odpowiednie histogramy i diagramy oraz
dystrybuanty empiryczne.
-Liczebność próby(n): , wartość min : ; wartość max: ; rozstęp(max  min): ; liczba przedziałów(pierwiastek z n-
liczebność próby): ; rozpiętość(h=rozstęp/liczba przedziałów): ;
nr. Wariantu(i) wariant(wartość cechy  xi) f. LICZ JEŻELI
Liczba Wartość cechy liczebnoś częstość licz. częstość skumulowana
przedziałów ć Skumulowana
Przedziały= Liczebność/liczebność Licz Liczebność
wart min + próby skum+licz. skumulowana/liczebność
rozpiętość(h) Następnego próby
Np.360-375 wariantu
375-&
Wykresy: - histogram i diagram liczebności y(liczebność) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy
-histogram i diagram częstości  y(częstość) x(przedziały) -liniowy i kolumnowy
-dystrybuanta empiryczna liczebności y((liczebność skumul.) x(przedziały)
-dystrybuanta empiryczna częstości  y((częstość skumul.) x(przedziały)
LAB4
Przykład 1.
W badaniu liczby literówek na stronach pewnej książki zaobserwowano następujące wyniki :
(liczby reprezentują ilość znalezionych literówek na stronie): 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 4, 1, 0, 2, 1, 3,
1, 2, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 6, 2, 1, 4, 2, 4, 1, 0, 2
Wyznaczyć szereg rozdzielczy punktowy.
Populacja- tutaj ksiązki; próba-książka; cecha statystyczna-liczba literówek na stronie książki; liczebność próby-
n=liczbie cyferek; liczba wariantów- wartosc cechy k ile różnych literek 7; warianty xi 0,1,2,3,4,5,6;ni liczebność-
licz.jezeli(zakres,xi); Nisk  liczebność skumulowana =licz.jezeli(zakres,<=xi);wisk-częstośc skumulowana =Nisk/n
Modalna Mo=wariant występujący najczęściej; srednia aryt =Srednia(najw.el,najmn.el); kwanty
pierwszy=kwanty(zakres;1); kwanty drugi mediana =kwanty(zakres;2); kwanty trzeci =kwanty(zakres;3); rozstep
R =El.najw/El.najm; odchylenie przeciętne d =Odch.srednie(zakres); odchylenie ćwiartkowe =(q3-q1)/2;
wariancja =wariancja.popul(zakres); odchylenie standardowe s =pierwiastek(wariancja); obszar zmienności
=srednia.arytm-s Przykład 3. Gęstość upakowania podzespołów elektronicznych pewnego urządzenia, liczącego 90
tysięcy elementów zainstalowanych na dwóch płytkach różnych producentów wynosi 300 elementów/
cm2 i 900 elementów/ cm2 . Obliczyć przeciętną gęstość upakowania elementów elektronicznych na
tych płytkach.
Liczba badanych płytek; xi gęstość upakowania;gęstość przecietna =srednia.harmoniczna(xi)-wartosc
poprawna; Sr.arytm =srednia(xi)-wartosc bledna;
Przykład 4
W zakładzie produkującym rezystory otrzymano w 3 -ech kolejnych kwartałach następujące wyniki w
mln sztuk: 225 ; 240,6 i 256,5. Jaki jest średni przyrost produkcji rezystorów w ciągu jednego
kwartału.
Prodykcja w mln sztuk(kw1,kw2,kw3); indeksy xi pierwszy =kw2/kw1 drugi =kw3/kw2;srednia geom
=(pierwszy*drugi)^(1/2) lub funkcja =srednia.geometryczna(pierwszy:drugi)
LAB5
Zad1
MiesiÄ™czne wydatki na książki i gazety studentów pewnej uczelni można uznać za cechÄ™ o rozkÅ‚adzie N(20, Ã).
Wiadomo, że wariancja wynosi 19,36zł. Wyznaczyć 94% przedział ufności dla średnich wydatków studentów.
Próba 50 elementów.
W tabelce: n, 1-a, a, m, sigma, Xsr, wariancja, ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)
Przedział: =Xsr-ua*sigma/Pier(n) =Xsr+ua*sigma/Pier(n) MODEL1
Zad2
Producent baterii chce oszacować przeciętną długość życia baterii. W losowej próbie 14 baterii otrzymano
 godziny, przy odchyleniu standardowym s=5,9 godziny. Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej
długości życia baterii.
W tabelce: n, 1-a, a, m, sigma, Xsr, wariancja, ua = ROZKA
AD.T.ODW(a;n-1)
Przedział: =Xsr-ua*sigma/Pier(n) =Xsr+ua*sigma/Pier(n) MODEL2
Zad3
W celu oszacowania średniego rocznego zużycia środków do prania i mycia na jedną osobę w gospodarstwach
domowych wylosowano niezależnie 120 gospodarstw i otrzymano następujący rozkład:
Zużycie w kg na osobę 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13
Liczba gosp. domowych 10 15 30 30 20 15
Przyjmując współczynnik istotności =0,02 oszacować granice przedziału ufności dla średniego rocznego
zużycia środków do prania i mycia na jedną osobę w gospodarstwach domowych.
Tabelka1: n, a, 1-a, m, sigma
tabelka2: xi(przedzialy), ni(liczebn.), Sr xi(srodek przed), Sr xi*ni, (sr xi-xsr)^2, (sr xi-xsr)^2*ni
S=PIERWIASTEK(suma((sr xi-xsr)^2*ni )/n)
ua=ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)
Xsr=suma(Sr xi*ni/n)
Przedział: =Xsr-ua*S/Pier(n) =Xsr+ua*S/Pier(n) MODEL3
LAB6
Zad1
Czas produkcji 5 losowo wybranych sztuk wyrobu (w s) kształtował się następująco: 6,5; 5,7; 6,8; 5,9; 6,7.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,93 oszacować wariancję czasu produkcji ogółu wytwarzanych
wyrobów.
Tabelka1: xi, (xi-xsr)^2 Tabelka2: m, sigma, n, Xsr, s^2, 1-a, a, a/2, n-1, 1-a/2
CHI1= ROZKA
AD.CHI.ODW(a/2;n-1) CHI2 =ROZKA
AD.CHI.ODW(1-a/2;n-1)
Prze. Ufność wariancji =n*s^2/chi1 =n*s^2/chi2
Prze. Uf. Odchyl.std =Pier(wyzej) =spier(wyżej)
Zad2
Czuły przyrząd pomiarowy powinien mieć niewielkie odchylenie standardowe błędów pomiaru. W próbie 41
błędów pomiaru stwierdzono s =10. Wyznacz 99% przedział ufności dla odchylenia standardowego błędów
pomiaru.
Tabelka: m, sigma, n, Xsr, s^2, 1-a, a, a/2, n-1, 1-a/2,ua, S
Ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2)
Przed.uf, odch std =S-ua*S/PIERWIASTEK(2*n) =S+ua*S/PIERWIASTEK(2*n)
Zad3
60% pracowników spośród wylosowanych 240 osób oceniło warunki bhp w swoim zakładzie pracy jako
niezadowalające. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbuduj przedział ufności dla frakcji niezadowolonych z
warunków bhp w całej populacji pracowników. Ustal względną precyzję szacunku nieznanej frakcji p.
Tabelka: n, m, W, 1-a, 1-a/2, a, a/2, ua
Ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) B(W) =ua/W*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n)*100
Prze.uf.od.std =W-ua*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n) =W+ua*PIERWIASTEK(W*(1-W)/n)
Zad4
Rozkład wzrostu studentów pewnej uczelni jest rozkładem normalnym (m,10). Ilu studentów należy wylosować
do próby, aby ocenić przeciętny wzrost studenta z maksymalnym błędem szacunku d=2 cm na poziomie ufności
0,99?
Tabelka: m, sigma, d, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua
Ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*sigma^2/d^2
Zad5
Wiadomo, iż automatyczna piła w walcowni tnie rury, których długość ma rozkład normalny z odchyleniem
standardowym równym 25 mm. Kontroler jakości chce oszacować nieznaną średnią długość rur z dokładnością
nieprzekraczającą d = 10 mm i z ufnością równą 0,99. Jak liczną próbę powinien pobrać?
Tabelka: m, sigma, d, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua
Ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*sigma^2/d^2
Zad6
Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka maturzystów zamierzających
kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 30 uczniów 60% z nich zamierza kontynuować naukę w szkole
wyższej? Przyjmij współczynnik ufności 0,9 i maksymalny błąd szacunku 5%.
Tabelka: d, m/n, 1-a, 1-a/2, a/2, a, ua
Ua =ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-a/2) n =ua^2*(m/n)*(1-(m/n))/d^2