1
Czym charakteryzuje się klasyczna definicja Laplace’a?
Prawdopodobieństwo
to jest równe stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A
do ilości wszystkich zdarzeń elementarnych.(klasyczna def. pr.).
P(A)=n(A)\n()
2Mamy
cztery wykresy funkcji, które z nich to funkcje gęstości.
Musi
być ciągła i całka z tej funkcji =1.
3
Był podany estymator R(Tn)=tetha. Jakim Tn jest estymatorem?
estymator
nieobciążony (parametru tetha).
4
Dla jakich zmiennych losowych prawdziwy jest wzór:
P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
dla
zmiennych nie wykluczających się.
6
Jest kwadrat K={ |x|<4, |y|<4; x,y należą do R} i koło
M={x^2+y^2<4}; Oblicz prawdopodobieństwo, że dowolnie wybrany
punkt z kwadratu nie należy do koła?
1-Л/16
7
Czym charakteryzuje się statystyczna próbka prosta?
zmienne
są niezależne, każda z nich ma taki sam rozkład.
8
Czym się charakteryzują elementy populacji?
jedna
cecha stała i jedna zmienna [chyba, nie jestem pewien].
9
Sprawdzamy kondycję finansową firmy. Sprawdzamy wszystkie filie
(przedstawicielstwa) tej firmy, które rozliczają się
samodzielnie. Jest to losowanie:
kompleksowe
z… [nie mam pewności].
10
Mamy windę, która posiada dwa niezależne hamulce.
Prawdopodobieństwo każdego, że zadziała, gdy liny się urwą wynosi
0.99. Oblicz prawdopodobieństwo, że ludzie przeżyją, gdy będą w
windzie w czasie, gdy lina się urwie?
0.99^2+0.99*2*0.01
11
Jaki rozkład charakteryzuje awaryjność urządzenia?
dwupunktowy
[0-1].
12
Jaki rozkład charakteryzuje rzut monetą aż do wyrzucenia orła?
geometryczny.
14
Mamy rozkład normalny ~N(-2,5). Jak wygląda zmienna
standaryzowana?
Odp:


15
Mamy rozkład normalny ~N(24,4).Zmienna jest podawana w mld
dolarów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona z przedziału
20-24 mld $?
0,3413
16
Jakim estymatorem jest S*?
estymator
zgodny nieobciążony.
18
Dzieci są w sanatorium. Mają urazy kręgosłupa. Robimy im badania
przed przyjazdem do sanatorium i gdy już z niego wyjeżdżają. Jaką
próbkę należy stworzyć aby to zbadać?
różnica
wartości przed i po (xi=xi’-xi’’) dla JEDNEJ
WARTOŚCI PRZECIĘTNEJ (średniej).




19
Był rozkład dwuwymiarowy X,Y
P(X=0,
Y=0)=3/8
P(X=0,
Y=1)=1/8
P(X=1,
Y=0)=3/8
P(X=1,
Y=1)=1/8
Należało
wyznaczyć współczynnik korelacji.
Ro=0.
21
Mamy podane EX EY i Z=-2X+4Y-3 Obliczyć EZ i D^2Z
EZ=
-5 D^2Z=24 [nie mam pewności]
22
Funkcja gęstości danego rozkładu ma postać:
f(x,y)=xy
dla x<0,2> y<0,1>; 0 w pozostałych przedziałach
zmienne
s,y są:
niezależne


24
Był podany wzór P (a<X<b). Z czego można to wyznaczyć?
F(b)-F(a)
25
Jeżeli poziom istotności (α) zmaleje to przedział ufności
(1-α) [LUB ODWROTNIE- JEŻELI (α) WZROŚNIE TO CO SIĘ
STANIE Z (1- α)]?
wzrośnie
[zmaleje].
26
Na czym polega błąd DRUGIEGO rodzaju?

przyjęciu
hipotezy H0 gdy jest ona fałszywa.
27
Jakiego błędu nie uwzględniają testy istotności ?
błędu
DRUGIEGO rodzaju.
28
Jaki to estymator:

zgodny
nieobciążony asymptotycznie.
29
Był podany wzór: P(X=a)=0. Co to oznacza?
dystrybuanta
F jest ciągła w punkcie a.
30
Jeżeli poziom ufności zmaleje to co się stanie z obszarem
krytycznym? [LUB ODWROTNIE- JEŻELI POZIOM UFNOŚCI WZROŚNIE TO CO
SIĘ STANIE Z OBSZAREM KRYTYCZNYM]?
zmaleje
(wzrośnie)
31
Pytanie dotyczyło wzorów na hipotezę zerową i alternatywną.
Jeżeli chcemy sprawdzić czy wartość przeciętna jest większa od 5
to jakie hipotezy postawimy?
H0:m=5
H1:m>5
32
Pytanie dotyczyło dwóch zmiennych X, Y
Y-
waga ciała X- wzrost ciała
Ich
stosunek wynosi 1,2. Jeżeli:
wzrost
zwiększy się o 1 cm (X) to waga (Y) wzrośnie o 1,2 kg
33
Doświadczenie polega na rzucie kostką. Zdarzenie A- wypadnie
parzysta liczba oczek B- wypadną co najmniej 4 oczka C- wypadną
co najwyżej 3 oczka. Należało sprawdzić która odpowiedź jest
poprawna.
A\C’
pociąga za sobą B\
34
Kiedy zależność między cechami X i Y jest najsilniejsza?
Ro=1

















1
Dla dowolnej zmiennej losowej X z dystrybuantą F, P(a<=X<=b)
jest równe:
F(b)-F(a)+P(X=b)
3
Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest
zmienną losową o rozkładzie N(100,50). Jaki procent lin
charakteryzuje się wytrzymałością różniącą się od średniej o nie
więcej niż 25 kg/cm3
?
38.3%
4
Statystka T jest estymatorem najefektywniejszym parametru 0
jeśli:
Ma
największą wariancję ze wszystkich nieobciążonych estymatorów
parametru 0
6
Jeśli zmniejszymy poziom istotności, to obszar krytyczny się:
Nie
można określić
7
Obszar krytyczny jest podzbiorem prostej, który zawiera wartości
statystyki testowej, gdy:
Prawie
na pewno prawdziwa jest hipoteza alternatywna
8
Dystrybuantą zmiennej losowej jest:
C(x)=1/x*arcctg(-x)
9
Jeśli interpretacją wartości zmiennej losowej jest ilość
wybrakowanych towarów w kontroli jakości dużej partii produkcji
renomowanej firmy, to zmienna ma rozkład:
Poissona
10
Pobrano niezależnie dwie próby losowe noworodków obojga
urodzonych w pewnym mieście w ciągu miesiąca (n1=20 dziewczynek
n2=30 chłopców) obserwując wagę urodzeniową. Stwierdzono, że
średnie arytmetyczne kształtują się na poziomach 3200g
(dziewczynki) i 3700g (chłopcy) przy identycznych odchyleniach
standardowych (780g). Na jakim poziomie istotności można uznać
różnice poziomów średnich arytmetycznych za statystycznie
nieistotne ?
0.02
lub mniejszy ?
11
Wektor losowy (X,Y) jest typu ciągłego o gęstości danej wzorem:
f(x,y)=2x dla x<0,1> i y<1,2> Zmienne X i Y są:
Niezależne
12
Doświadczenie polega na rzucie kostką i krążkiem, na którego
jednej stronie są dwa, a drugiej cztery oczka. Dane są zdarzenia
A – suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej 6, B –
iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez 4.
Prawdziwe jest zdanie:
Zdarzenie
(A i B)’ u A jest zdarzeniem pewnym
13
Jeśli współczynnik korelacji liniowej cech X i Y z próbki r != 0,
to można przypuszczać, że
Cechy
są zależne
14
Wzór P(A)=P(A/B1)P(B1)
+ P(A/B2)P(B2)
zachodzi
Gdy
rozłączne zdarzenia B1
i B2
dają w sumie zdarzenie pewne
15
Przy weryfikacji hipotez statystycznych można popełnić błąd I-go
rodzaju. Polega on na tym, że:
Odrzucamy
hipotezę H0
gdy jest ona prawdziwa




16
Wartość oczekiwana i wariancja niezależnych zmiennych losowych X
i Y wynoszą EX=2, D2X=3
oraz EY=-1, D2Y=2.
Dla zmiennej losowej Z=2X-3Y+1 parametry te wynoszą:
EZ=8
i D2Z=30
17
Dokonujemy serii pomiarów przyrządem mierzącym bez błędu
systematycznego, z podaną przez producenta dokładnością pomiarów.
Średnią wielkość pomiaru możemy szacować przedziałem ufności przy
założeniach:
Rozkład
wielkości pomiaru jest normalny, lecz parametry rozkładu nie są
znane, musimy ustalić wielkość próby
18
Jeśli dla pewnego a i zmiennej losowej X zachodzi P(X=a) > 0,
to
Zmienna
losowa X musi być typu skokowego
19
Pewne urządzenie musi być zasilane jednocześnie z baterii i z
sieci. Oba źródła zasilania pracują niezależnie. P awarii baterii
jest równe 0.03 a awarii sieci 0.07. Jakie jest P przestoju
urządzenia z powodu braku zasilania ?
0.03*0.07+0.97*0.07+0.03*0.93
20
Jeśli zmniejszymy poziom ufności, to przedział ufności się:
Zmniejszy
21
W pewnym doświadczeniu fizycznym bada się zależność między kątem
obrotu wektora namagnesowania pewnej próbki (cecha X), a
wielkością ziaren (cecha Y). Na podstawie próbki oszacowano
współczynnik korelacji = -0.93 oraz odchylenia standardowe
Sx=14,14
i Sy=1.07.
Wynika stąd, że:
Zwiększenie
kąta obrotu o jednostkę powoduje zmniejszenie wielkości ziaren o
0.07 jednostki
22
W celu oszacowania wartości oczekiwanej dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego o nieograniczonych klasach skrajnych, najlepiej
obliczyć:
Medianę
23
Geometryczna definicja P jest poprawna, gdy
Przestrzeń
omega zdarzeń elementarnych jest zbiorem nieprzeliczalnym,
ograniczonym i borelowskim
26
Fundusz socjalny PS wypłaca pracownikom dofinansowanie za wczasy
ustalając cztery progi, w zależności od średniego dochodu netto
na osobę w rodzinie. Wielkość wypłacanego zasiłku jest cechą:
Skokową
27
Rysunek składa się z czterech koncentrycznych kół o promieniach
r1 < r2 < r3 < r4. Niech A oznacza zdarzenie polegające
na losowym wyborze punktu z koła o promieniu ri
i należy do {1,2,3,4}. P zajścia zdarzenia (A4 – A2)/A3
wynosi:
(R42-R22)/R32
28
Opis statystyczny jest badaniem wystarczającym, gdy:
Populacja
próbna stanowiła dobrą reprezentację populacji generalnej
29
Zdarzenie losowe jest:
Elementem
n-ciała zdarzeń
30
Statystyka S2=1/(n-1)
suma (Xi-X)2
jest:
Zgodnym
i nieobciążonym estymatorem wariancji

















1
Wzrost chłopców w wieku 9 lat jest zmienną losową o rozkładzie
N(135,10). P że zmienna ta przyjmuje wartości różniące się od
średniej o nie mniej niż 4 cm wynosi:0.6892
2
Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych omega jest zdarzeniem
losowym, gdy:
Przestrzeń
omega zdarzeń elementarnych jest zbiorem przeliczalnym
3
Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. P trafienia do celu
jednym pociskiem wynosi 0.7.
Strzelanie kończy
się z chwilą trafienia do celu albo wyczerpania pocisków. P
oddania co najmniej 2 strzałów jest równe:
0.3
4
Nierówność Rao-Cramera jest wykorzystywana do dowodzenia, że:
estymator
jest najefektywniejszy
5
Badając zbiorowość studentów w Polsce ze względu na częstość
korzystania bibliotek mamy do czynienia z cechą:
Niemierzalną
6
Wektor losowy (X,Y) jest typu ciągłego o gęstości danej wzorem
f(x,y)=y-x dla x<0,1> i y<1,2>. Zmienne x i y są:
Zależne
7
Testem istotności weryfikujemy hipotezy H0:
m=11 H1:m<11
na poziomie istotności 0.05. Dla próbki 150-elementowej
otrzymaliśmy ujemną wartość statystyki testowej -1.9. Wniosek jest
następujący:
Średnia
wartość cechy w populacji jest mniejsza niż 11
8
Wartość oczekiwana i wariancja niezależnych zmiennych losowych są
skończone. Dla zmiennej losowej Z=5X-3Y-4 parametry te wynoszą:
EZ=5EX-3EY-4
i D2Z=25D2X+9D2Y
9
Po uporządkowaniu w ciąg niemalejący wartości pewnej cechy typu
ciągłego i przyporządkowaniu liter a i b wartościom niezależnych
próbek z populacji pierwszej i drugiej odpowiednio, otrzymano:
a,b,a,a,a,a,b,b,b,b,a,a,a,a. Statystycznie istotne różnice
rozkładów w obu populacjach otrzymamy na poziomie istotności:
żadnym
z wymienionych

10
Obszar krytyczny to przedział liczbowy do którego:
Powinna
należeć prawie każda wartość statystyki testowej, jeśli H1
jest prawdziwa
11
Jeśli zmienna losowa jest modelem ilości sukcesów w bardzo dużej
liczbie niezależnych doświadczeń z niewielkim P sukcesu, to ma
rozkład:
Poissona
12
Dane są zdarzenia A – co najmniej 1 z 3 sprawdzonych wyrobów
jest wybrakowany, B – wszystkie 3 wyroby są dobrej jakości.
Prawdziwe jest zdanie:
Zdarzenie
A’u(B\A’) pociąga zdarzenie B\A’
13
Próbka wartości cechy przedstawiona niemalejąco, to:
Szereg
statystyczny prosty15
Próbka losowa prosta jest uzyskiwana w drodze
losowanianieograniczonego,
indywidualnego i niezależnego
16
Linia regresji I-go rodzaju zmiennej Y względem zmiennej X dla
wektora losowego (X,Y) z zadania 32 jest zbiorem punktów:
(-1,1/4),(1,4/3)
?
17
Na podstawie próbki 17-elementowej oszacowano wariancję s2=23.
Przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji na
poziomie ufności 0.99 ma realizację:
(3.38,
8.72)
19
Przestrzeń omega zdarzeń elementarnych jest dowolnym zbiorem,
funkcja X:omega->R jest zmienną losową. Nieprawdziwe jest
zdanie:
Zbiór
(w e omega : X(w) < -3) nie musi być zdarzeniem losowym




21
Współczynnik korelacji liniowej z próbki cech X i Y ma wartość
bliską zera. Oznacza to, że:
Nie
ma zależności liniowej między cechami
22
Dla dowolnej zmiennej losowej X z dystrybuantą F, P(a<X<b),
gdzie a,b należy do R, jest równe:
F(b)-F(a)-P(X=a)
23
Przy weryfikacji hipotez statystycznych testem istotności można
popełnić:
Tylko
błąd I-go rodzaju
24
Jeśli zmienna losowa jest modelem ilości sukcesów w bardzo dużej
liczbie niezależnych doświadczeń z niewielkim P sukcesu, to ma
rozkład:
Poissona25
Na rysunku zostały przedstawione wykresy funkcji. Gęstością
rozkładu zmiennej losowej:
Jest
funkcja a i c
26
Jeśli ze wzrostem liczebności próbki wzrasta dokładność szacowania
nieznanego parametru B rozkładu cechy w populacji, to estymator
jest:
Estymatorem
zgodnym
27
Zmienna losowa X ma rozkład przedstawiony w tablicy:
X
| -2 | -1 | 0 | 1
p
|0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.2
Zmienna
losowa Y=X2-2
ma rozkład:
Y
| -2 | -1 | 2
p
|0.4 | 0.3 | 0.3
28
Jeśli zwiększymy poziom istotności, to obszar krytyczny się:
Zwiększy
29
W teście zgodności x2
porównujemy ze sobą:
Empiryczne
i hipotetyczne liczności w szeregu rozdzielczym
30
Chcemy zbadać siłę związku korelacyjnego między wysokością pensji
a płcią pracownika. Należy obliczyć:
Współczynnik
zbieżności V Cramera lub współczynnik T Czuprowa
31
W dwóch miastach wylosowano po 125 uczniów klas VI i zebrano
wyniki testów kompetencji. Aby porównać średni poziom wiedzy
uczniów VI klasy w obu miastach, należy przeprowadzić test:
Należy
najpierw sprawdzić, czy rozkład punktacji jest normalny
32
Dany jest rozkład wektora losowego typu skokowego.

1/7
| 1/7 | 2/7
0
| 2/7 | 1/7
Współczynnik
korelacji zmiennych X i Y wynosi:
q=sqrt(2)/24
33
Statystyka X = 1/n(X1 + … + Xn) jest dla normalnego
rozkładu cechy X:
Zgodnym,
nieobciążonym, najefektywniejszym estymatorem wartości oczekiwanej
34
P tego, że losowo wybrany punkt kwadratu |x|<=10,| y|<=10
spełnia warunek |x+y|<=5 wynosi:
7/10
35
Jeśli współczynnik asymetrii wynosi -0.63 a kurioza 3.84, to
rozkład jest:
Lewostronnie
asymetryczny i mniej spłaszczony niż normalny
36
Funkcja charakterystyczna zmiennej X dana jest wzorem 1/(1+2it)2
Wartość oczekiwana i wariancja wynoszą odpowiednio:
EX=
-4 i D2X=8


37
Pobrano niezależnie dwie próby losowe wyrobów produkowanych w
dwóch zakładach (n1=150, n2=200), obserwując ich jakość. W
zakładzie pierwszym 9 wyrobów, a w drugim 23 wyroby oceniono jako
wadliwe. Na jakim poziomie istotności można uznać różnice między
odsetkami wadliwych wyrobów produkowanych przez oba zakłady za
statystycznie nieistotne:
0.05
lub mniejszy

















1
Zmienna losowa X ma rozkład
x
| -2 | -1 | 0 | 1
p
|0.3|0.1|0.4|0.2
Zmienna
losowa Y = X2+2
ma rozkład
y
| 2 | 3 | 6
p
|0.4|0.3|0.32
Jeśli zmienna losowa jest modelem czasu bezawaryjnej pracy
badanego elementu, to ma rozkład:
Poissona?/wykładniczy
3
W dwóch szkołach wylosowano po 25 uczennic klas VI i zebrano
wyniki testów kompetencji. Aby porównać średni poziom wiedzy
uczennic VI klasy w obu szkołach, należy przeprowadzić test:
Dla
dwóch średnich (mała próba)
4
Jeśli współczynnik asymetrii wynosi 0.78 a kurioza 2.13, to
rozkład jest:
Prawostronnie
asymetryczny i bardziej spłaszczony niż normalny
5
Jeśli ze wzrostem liczebności próbki wzrasta dokładność
szacowania nieznanego parametru 0 rozkładu cechy w populacji, to
estymator jest:
Estymatorem
zgodnym
6
Badając zbiorowość studentów w Polsce ze względu na wysokość
otrzymywanego stypendium naukowego mamy do czynienia z cechą:
Typu
skokowego
7
W teście zgodności X2
porównujemy ze sobą:
Empiryczne
i hipotetyczne wariancje
9
Współczynnik korelacji liniowej x z próbki cech X i Y ma wartość
bliską zera. Oznacza to, że:
Cechy
nie są zależne
10
Wartość oczekiwana i wariancja niezależnych zmiennych losowych X
i Y są skończone. Dla zmiennej losowej Z=5X-3Y+4 parametry te
wynoszą:
EZ=5EX-4EY+4
i D2Z=25D2X+9D2Y
11
Jeśli zwiększymy poziom istotności to obszar krytyczny się
Zwiększy
12
Dane są zdarzenia A – co najmniej 1 z 3 sprawdzonych
wyrobów jest wybrakowany, B – wszystkie 3 wyroby są dobrej
jakości. Prawdziwe jest zdanie:
Zdarzenia
A’ i B’ jest zdarzeniem pewnym
13
Testem istotności weryfikujemy hipotezy H0:m=11,
H1:m<11
na poziomie istotności 0.05. Dla próbki 150-elementowej
otrzymaliśmy wartości statystyki testowej 1.9. Wniosek jest
następujący:
Średnia
wartość cechy w populacji nie różni się od 11 w sposób
statystycznie istotny
14
Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych omega jest zdarzeniem
losowym, gdy:
Przestrzeń
omega zdarzeń elementarnych jest zbiorem co najwyżej
przeliczalnym




15
P tego, że losowo wybrany punkt kwadratu 0<=x<=15, 0<=y<=15
spełnia warunek |x-y|<=5 wynosi:
1/9
16
Obszar krytyczny to przedział liczbowy, do którego:
Powinna
należeć prawie każda wartość statystyki testowej , jeśli H0
jest prawdziwa
17
Dane są własności dla dowolnych zdarzeń A i B. Prawdziwe są
własności:
W1:
P(zbiór_pusty) = 0
18
Próbka losowa prosta jest uzyskiwana w drodze losowania:
Nieograniczonego,
niezależnego i indywidualnego
19
Pobrano niezależnie dwie próby losowe wyrobów produkowanych w
dwóch zakładach (n1=150 i n2=200), obserwując ich jakość. W
zakładzie pierwszym 9 wyrobów, a drugim 23 wyroby oceniono jako
wadliwe. Na jakim poziomie istotności można uznać różnice między
odsetkami wadliwych wyrobów produkowanych przez oba zakłady za
statystycznie istotne:
0.1
21
Dla dowolnej zmiennej losowej X z dystrybuantą F, P(a<x<b)
jest równe:
F(b)-F(a)
22
Przy weryfikacji hipotez statystycznych testem istotności można
popełnić:
Błąd
I-go rodzaju
24
Statystyka X=1/n*(X1 + … + Xn) jest dla dowolnego
rozkładu cechy X:
Zgodnym
i nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej
25
Na podstawie próbki 25-elementowej oszacowano wariancję x2=35.
Przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji na
poziomie ufności 0.95 ma realizację:
(4.71;
8.40)
26
Próbka wartości cechy przedstawiona w kolejności losowania, to:
Szereg
statystyczny
27
Gdy przestrzeń omega zdarzeń elementarnych jest dowolnym zbiorem,
funkcja R->omega jest zmienną losową:
Jeśli
zbiór X(x)<w jest zdarzeniem losowym dla w należącego do omega
29
Wzrost chłopców w wieku 5 lat jest zmienną losową o rozkładzie
N(110,4). P, że zmienna ta przyjmuje wartości różniące się od
średniej i mniej niż 2 cm wynosi:
0.383
30
Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. P trafienia do celu
jednym pociskiem wynosi 0.7. Strzelanie kończy się z chwilą
trafienia do celu lub wyczerpania zapasów. P oddania 3 strzałów
jest równe:
0.32