Modele probabilistyczne i statystyka
Zmienna losowa dyskretna
Magdalena Topczewska
Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej
e-mail: [e-mail]
pok. 207
16 marca 2008
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Plan wykładu
1 Pojęcia podstawowe, działania na zdarzeniach, prawdopodobieństwo
2 Zmienna losowa dyskretna - rozkłady, dystrybuanta
3 Zmienna losowa ciągła - funkcja gęstości, rozkłady zmiennej ciągłej,
dystrybuanta
4 Funkcje zmiennych losowych, charakterystyki liczbowe zmiennych
5 Dwuwymiarowa zmienna losowa
6 Zmienna dwuwymiarowa, charakterystyki liczbowe zmiennej dwuwymiarowej
7 Regresja I i II rodzaju
8 Twierdzenia graniczne
9 Statystyka opisowa, Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w statystyce
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Zmienna losowa - przykłady
Zmienna losowa  jedno z najważniejszych pojęć rachunku
prawdopodobieństwa.
Wyróżnia się zmienne losowe dyskretne i ciągłe.
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Zmienna losowa - przykłady
Zmienna losowa  jedno z najważniejszych pojęć rachunku
prawdopodobieństwa.
Wyróżnia się zmienne losowe dyskretne i ciągłe.
Przykłady:
liczba orłów w 3 rzutach monetą
wyniki pomiarów wzrostów 1000 osób
liczba egzaminów komisyjnych ze statystyki w ciągu 5 lat
czas świecenia żarówki
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Zmienna losowa
Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (&!, Z , P).
Zmienną losową nazywamy funkcję określoną w przestrzeni &!
zdarzeń elementarnych, przyjmującą wartości rzeczywiste, taką, że
dla każdej liczby rzeczywistej x, zbiór zdarzeń elementarnych dla
których X < x należy do algebry Z .
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Zmienna dyskretna
Jeżeli X przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości, xi
(i = 1, 2, . . .) odpowiednio z prawdopodobieństwami pi (i = 1, 2, . . .,
pi = 1, pi > 0), to X nazywamy zmienną losową dyskretną
(skokową).
n
pi = 1  skończona liczba wartości
i=1
"
pi = 1  przeliczalna liczba wartości
i=1
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład prawdopodobieństwa
Funkcję
pi(xi) = P(X = xi) = pi
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych xi przyjmującą wartości pi,
będące prawdopodobieństwami (i = 1, 2, . . ., pi = 1, pi > 0)
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej dyskretnej
X .
xi x1 x2 . . . xn . . .
pi p1 p2 . . . pn . . .
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykłady
xi  liczba oczek w rzucie kostką 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
pi  prawdopodobieństwo
6 6 6 6 6 6
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykłady
xi  liczba oczek w rzucie kostką 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
pi  prawdopodobieństwo
6 6 6 6 6 6
xi  liczba orłów w trzech rzutach monetą 0 1 2 3
1 3 3 1
pi  prawdopodobieństwo
8 8 8 8
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Funkcję
F (x) = pi
X nazywamy dystrybuantą zmiennej dyskretnej X.
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Funkcję
F (x) = pi
X nazywamy dystrybuantą zmiennej dyskretnej X.
Własności
F (x) jest niemalejąca
0 F (x) 1
F (-") = 0, F (") = 1
F (x) jest lewostronnie ciągła
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Funkcję
F (x) = pi
X nazywamy dystrybuantą zmiennej dyskretnej X.
Własności
F (x) jest niemalejąca
0 F (x) 1
F (-") = 0, F (") = 1
F (x) jest lewostronnie ciągła
dla x1 < x2, P(x1 X < x2) = F (x2) - F (x1)
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykład
Zadanie:
W grupie studenckiej przeprowadzono sprawdzian. Niech X oznacza
ocenę losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen
bardzo dobrych, dobrych, dostatecznych i niedostatecznych ma się
tak jak 1:3:4:2 wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej X :
a) funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres
b) dystrybuantę i jej wykres
c) na wykresie dystrybuanty podać interpretację
prawdopodobieństwa P(X = 3)
d) prawdopodobieństwo P(X < 3.5) korzystając z
1) funkcji prawdopodobieństwa
2) dystrybuanty
e) prawdopodobieństwo P(3 X < 4.5) korzystając z
1) funkcji prawdopodobieństwa
2) dystrybuanty
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład jednostajny (równomierny)
xi x1 x2 . . . xn
1 1 1
pi n n . . .
n
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład zero-jedynkowy
xi 0 1
pi q p
q = 1 - p
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład Bernoulliego
P(X = k) = (n)pkqn-k
k
q = 1 - p
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykład
Zadanie:
Prawdopodobieństwo, że statystyczny student nie jest przygotowany
1
do ćwiczeń jest równe p = . Prowadzący zajęcia wybiera
3
przypadkowo 4 osoby. Niech X oznacza liczbę osób spośród
wybranych, które nie są przygotowane do ćwiczeń. Znalez
ć P(X=3).
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala)
Pl(k) = (l-1 )plqk-l
k-1
q = 1 - p
Interpretacja: prawdopodobieństwo l-tego sukcesu w k-tej
próbie
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład geometryczny (ujemny dwumianowy dla
l = 1)
P(X = k) = p(1 - p)k
q = 1 - p
Interpretacja: prawdopodobieństwo 1-ego sukcesu w k-tej
próbie
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykład
Zadanie:
Egzaminator zadaje studentowi pytanie. Prawdopodobieństwo tego,
że student odpowie na każde pytanie jest równe 0.8. Egzaminator
przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpowiedzieć na
zadane pytanie. Podać rozkład zmiennej losowej X , będącej liczbą
pytań, które egzaminator zadawał studentowi.
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład hipergeometryczny
(M )(N-M )
k n-k
P(X = k) =
(N )
n
k - liczba sukcesów (np. wylosowanie elementów z cechą A)
n - liczba prób
M - liczba elementów mających cechę A
N - liczba wszystkich elementów
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład Poissona
P(X = k) = e- k
k!
k = 0, 1, 2, . . .
 = np
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach
Rozkład Poissona jest tym lepszym przybliżeniem rozkładu
Bernoulliego im większe jest n i mniejsze p.
W praktyce przybliżenie jest dobre gdy n 50, p 0.1
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykład
Zadanie:
Centrala telefoniczna uczelni obsługuje 100 abonentów.
Prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej minuty abonent zadzwoni do
centrali wynosi 0.01. Znalez
ć prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej
minuty zadzwoni dokładnie
a) 3 abonentów,
b) co najmniej 3 abonentów.
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna
Definicje Przykład Rozkłady prawdopodobieństwa
Wesołych Świąt!
Magdalena Topczewska Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej e-mail: [e-mail] pok. 207
Modele probabilistyczne i statystykaZmienna losowa dyskretna