Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
16. ESTYMACJA PRZEDZIAA
OWA PARAMETRÓW
Metoda estymacji przedziałowej to dokonanie szacunku parametru w
postaci takiego przedziału (zwanego przedziałem ufności), który z dużym
prawdopodobieństwem obejmuje prawdziwą wartość parametru.
Przedziały ufności dla poszczególnych parametrów populacji wyznacza się
z rozkładów odpowiednich statystyk, będących estymatorami tych
parametrów.
Najlepszym, uzyskanym metodą największej wiarygodności, estymatorem
średniej wartości � populacji generalnej jest średnia arytmetyczna x z próby.
W zależności od przyjętych założeń otrzymuje się konkretne wzory na
przedziały ufności, w oparciu o rozkład normalny lub rozkład t-Studenta.
Wykład 4/ 1
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Przedział ufności dla średniej
Model I
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (�, �).
Wartość średniej � jest nieznana, odchylenie standardowe � w populacji jest
znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów,
wylosowanych niezależnie. Przedział ufności dla średniej � populacji
otrzymuje się ze wzoru:
� �
ńł �ł
P�ł x - uą < � < x + uą = 1- ą
żł
n n
ół �ł
gdzie:
1-ą - jest prawdopodobieństwem, przyjętym z góry i nazywanym
współczynnikiem ufności (w zastosowaniach praktycznych przyjmuje
się wartość 1-ą e" 0,9)
Wykład 4/ 2
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
u - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym
ą
- średnia arytmetyczna z próby obliczona wg zależności:
x
n
-
1
x = �" xi
"
n
i= 1
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1-ą wyznacza się z
rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, 1), w taki sposób, by spełniona
była relacja:
P{-uą < U < uą} = 1-ą
Wykład 4/ 3
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Uą jest taką wartością zmiennej
losowej o rozkładzie normalnym
standaryzowanym, że pole
powierzchni pod krzywą gęstości
w przedziale (-uą , uą) wynosi 1-
ą, a pole pod krzywą gęstości na
prawo od uą i na lewo od -uą wynosi po ą/2. Uą jest można również
wyznaczyć na podstawie dystrybuanty z zależności:
ą
Ś ( uą ) = 1-
2
(gdzie Ś(" ) jest dystrybuantą rozkładu normalnego standaryzowanego),
korzystając z tablic rozkładu normalnego. Uą jest nazywane kwantylem
rozkładu normalnego.
Wykład 4/ 4
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Model II
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(�, �).
Nieznana jest zarówno wartość średnia �, jak i odchylenie standardowe � w
populacji.
Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n (n<30)
elementów. Przedział ufności dla średniej � populacji otrzymuje się wówczas z
wzoru:
s s
�ł
Pńł x - tą < � < x + tą = 1- ą
�ł żł
n n
ół �ł
Wykład 4/ 5
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
gdzie:
n
1
s = (xi - x)2
"
n - 1
i= 1
jest odchyleniem standardowym z próby.
Wartość tą oznacza wartość zmiennej t Studenta odczytaną z tablicy tego
rozkładu dla n-1 stopni swobody w taki sposób, by dla danego z góry
prawdopodobieństwa 1-ą spełniona była relacja:
P{-tąZasada wyznaczania wartości tą jest podobna jak w modelu I.
Wykład 4/ 6
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Model III
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(�, �) bądz

dowolny inny rozkład o średniej � i skończonej wariancji �2 (nieznanej). Z
populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym
liczebność próby jest duża (co najmniej kilkadziesiąt). Wtedy przedział ufności
dla średniej � populacji wyznacza się ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko
różnicą, że zamiast � we wzorze tym używamy wartości odchylenia
standardowego s z próby.
Wykład 4/ 7
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Przykład
Wytrzymałość materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym N(�, �). W celu oszacowania nieznanej średniej � wytrzymałości
tego materiału dokonano pomiaru wytrzymałości na n=5 wylosowanych
niezależnie elementach z tego materiału. Otrzymano następujące wyniki: 20.4,
19.6, 22.1, 20.8, 21.1.
Przyjmując współczynnik ufności 1-ą=0,99 zbudować przedział ufności
dla średniej wytrzymałości � tego materiału.
Ze względu na nieznajomość � oraz małą próbę mamy do czynienia z
modelem II
104
3.38
x = = 20,8
s = H" 0,919
5
4
Wykład 4/ 8
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
dla tą=4,604 odczytanego z tablicy rozkładu dla sprawdzenia obliczamy całkę
tą
+"f (t)dt = 0,99
- tą
Obliczamy przedział ufności
0,919 0,919
20,8-4,604�" <�<20,8+4,604�"
5 5
20,8-1,9<�<20,8+1,9
18,9<�<22,7
A zatem przedział o końcach 18,9 i 22,7 z prawdopodobieństwem 0,99
pokrywa nieznaną średnią wytrzymałość tego materiału.
Wykład 4/ 9
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Przedział ufności dla wariancji
W zależności od tego, czy próba jest mała czy duża, przedział ufności dla
wariancji buduje się odpowiednio w oparciu o rozkład �2 (chi-kwadrat) bądz
o
rozkład normalny.
Model I
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(�, �) o
nieznanych parametrach � i �. Z populacji tej wylosowano niezależnie do
próby n elementów (n jest małe tj. n < 30). Z próby obliczono wariancję s2.
Wówczas przedział ufności dla wariancji �2 populacji generalnej określony jest
wzorem:
ńł �ł
ns2 ns2
2
P�ł < � < = 1- ą
żł
c2 c1 �ł
ół
Wykład 4/ 10
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
gdzie:
2
n
1
s2 = (xi - x)
"
n - 1
i= 1
jest wariancją z próby, a współczynniki c i c są wartościami zmiennej �2
1 2
wyznaczonymi z tablicy rozkładu �2 dla n-1 stopni swobody oraz
współczynnika ufności 1-ą w taki sposób, by spełnione były relacje:
1
2
P(� < c1) = ą
2
1
2
P(� e" c2) = ą
2
Wykład 4/ 11
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Ponieważ powszechnie używane tablice rozkładu �2 podają
prawdopodobieństwo P(�2e"�2ą), zatem dla określonego współczynnika ufności
1-ą wartości c znajdujemy z tablic rozkładu �2 dla prawdopodobieństwa 1-
1
ą/2, natomiast wartość c dla prawdopodobieństwa ą/2.
2
Wykład 4/ 12
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
(�2)
Model II
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(�, �) lub
zbliżony do normalnego o nieznanych parametrach � i �. Z populacji tej
�2
wylosowano niezależnie dużą liczbę n elementów (n co najmniej
Wykład 4/ 13
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
kilkadziesiąt). Z próby tej obliczono odchylenie standardowe . Wtedy
s = s2
przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego � populacji
generalnej jest określony wzorem:
ńł �ł
�ł �ł
s s
�ł
P�ł < � < = 1 - ą
�ł
uą uą żł
�ł �ł
1 + 1 -
�ł �ł
2n 2n
ół �ł
gdzie uą jest wartością zmiennej normalnej standaryzowanej U, wyznaczoną w
taki sposób dla ustalonego 1-ą z tablicy rozkładu N(0, 1), by spełniona była
relacja:
Wykład 4/ 14
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
P{-uąPrzykład
Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego dokonano n=4
niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano następujące wyniki (w
MPa):
120, 102, 135, 115.
Należy zbudować przedział ufności dla wariancji �2 wytrzymałości tego
elementu, przyjmując współczynnik ufności 1-ą=0,96.
Jeżeli przyjmiemy, że rozkład wytrzymałości jest zbliżony do normalnego,
to ze względu na małą próbę mamy do czynienia z modelem I.
Wykład 4/ 15
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
Obliczamy:
x =118
ns2=558
Wartości c i c odczytujemy z tablic rozkładu �2 o n-1=3 stopniach swobody i
1 2
dla współczynnik ufności 1-ą=0,96
c =0,185
1
c =9,837
2
Stąd otrzymujemy przedział ufności:
Wykład 4/ 16
Metody probabilistyczne i statystyka
StatGraph.lnk
558 558
2
< � <
56,7<�2<3016
9,837 0,185
Ze względu na małą liczebność próby otrzymany przedział ufności jest
dość szeroki.
Aby otrzymać przedział ufności dla odchylenia standardowego �,
pierwiastkujemy końce przedziału.
7,5<�<54,9
Wykład 4/ 17